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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 42

Obtenha os planos tangentes à superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 = 1 que contêm a reta interseção dos planos π 1 : x + y + z = 0 e π 2 : x - y - z - 2 = 0 .

Passo 1

Para resolvermos esta questão, vamos primeiro utilizar a ideia de feixe de planos. Uma reta r será dada pela interseção dos planos π 1 e π 2 . Logo,

r : x + y + z = 0   x - y - z - 2 = 0

Se queremos obter um feixe de planos por r , basta pegarmos a primeira equação e multiplicar por α e somarmos com a segunda multiplicada por β . Portanto,

π : α + β x + α - β y + α - β z - 2 β = 0

Em que α e β não são ambos nulos.

Pronto, nosso trabalho agora é descobrir quais valores de α e β que satisfazem a condição do plano π ser tangente a superfície.

E para que esta relação seja satisfeita, sabemos automaticamente que, seja C = 0,0 , 0 o centro da nossa superfície esférica e ρ = 1 seu raio, temos:

d C , π = ρ = 1

Basta resolvermos esta equação acima.

Passo 2

Para resolvermos a relação descrita no passo 1, vamos ter de calcular a distância do centro da superfície até o plano π . Portanto,

d C , π = α + β ⋅ 0 + α - β ⋅ 0 + α - β ⋅ 0 - 2 β α + β 2 + α - β 2 + α - β 2

d C , π = - 2 β α 2 + 2 α β + β 2 + α 2 + 2 α β + β 2 + α 2 + 2 α β + β 2

d C , π = - 2 β 3 α 2 - 2 α β + 3 β 2

Agora, só resolvermos a seguinte equação:

d C , π = 1

Ou também, para facilitarmos as nossas vidas e retirarmos a raiz e o módulo, vamos elevar ao quadrado. Logo,

d C , π 2 = 1 2

- 2 β 3 α 2 - 2 α β + 3 β 2 2 = 1 2

4 β 2 3 α 2 - 2 α β + 3 β 2 = 1

3 α 2 - 2 α β - β 2 = 0

Para resolvermos esta equação, vamos considerar α como nossa variável x . Todo o resto será uma constante. Portanto, seria algo do tipo:

3 α 2 + - 2 β α + - β 2 = 0

Portanto, a solução será dada por:

α = 2 β ± 4 β 2 - 12 - β 2 6 = 2 β ± 16 β 2 6

α = 2 β ± 4 β 6

Portanto, temos duas soluções. Ou α = β ou α = - β / 3 .

Para a primeira solução, teremos o seguinte plano.

π 1 : α + β x + α - β y + α - β z - 2 β = 0

π 1 : β + β x + β - β y + β - β z - 2 β = 0

π 1 : 2 β x - 2 β = 0

Colocando o β em evidência e passando dividindo para o segundo membro, pois ele é diferente de zero, obtemos:

π 1 : x - 1 = 0

Já para a segunda solução, teremos o seguinte plano.

π 2 : α + β x + α - β y + α - β z - 2 β = 0

π 2 : - β 3 + β x + - β 3 - β y + - β 3 - β z - 2 β = 0

π 2 : 2 β 3 x - 4 β 3 y - 4 β 3 z - 2 β = 0

Colocando o β em evidência e passando dividindo para o segundo membro, pois ele é diferente de zero, obtemos:

π 2 : 2 3 x - 4 3 y - 4 3 z - 2 = 0

π 2 : x - 2 y - 2 z - 3 = 0

Resposta

π 1 : x - 1 = 0

π 2 : x - 2 y - 2 z - 3 = 0

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Calcule a de modo que o plano x+ y+ z=a seja tangente à superfície esférica x 2+y 2 + z 2- 2 x+ y- 2 z= 6 .
Determine uma equação da superfície esférica que tem centro na reta y=2 x- 3 ⎨ z=x- 1 e que passa pelos pontos A =( 3,6 , - 1 ) e B =( 5,0 , 7 ) .
Determine o centro e o raio da circunferência x^2 + y^2 + z^(2 ) - 2 x + 4 y - 6 z + 5 = 0 ⎨x + y - z + 1 = 0
Determine uma equação da superfície esférica que tem centro na reta x - 1 3 = y+2 - 1=z e que passa pelos pontos P =( 1 , - 1,2 ) e Q =( 0,0 , 2 ) .
Ache os planos paralelos ao plano x- 2 y- z= 0 e que são tangentes à superfície esférica x 2+y 2 + z 2- 2 y- 4 y + 4= 0 .