Determine os valores máximo e mínimo atingidos pela expressão x - 2 y + z (e os pontos X m á x á e X m í n í em que ocorrem) quando X percorre a superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 = 6 .

O valor máximo é 6 e o mínimo -6. Já os pontos são X m á x = 1 , - 2,1 á e X m í n = - 1,2 , - 1 í .

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 47

Determine os valores máximo e mínimo atingidos pela expressão (e os pontos e em que ocorrem) quando percorre a superfície esférica .

Passo 1

Queremos determinar os valores máximos e mínimos atingidos pela seguinte expressão:

Isto é, queremos descobrir esse valor de . Bom, esta equação acima parece com algo que já trabalhamos bastante. Vamos isolar tudo de um lado da equação. Portanto,

E a equação acima não é exatamente a equação de um plano? Portanto, estamos fazendo um plano percorrer uma superfície esférica. Então, como queremos que haja interseção, a seguinte relação deve ser satisfeita:

Como o centro da superfície é , temos:

Abrindo o módulo, temos:

Pronto, o valor de deve variar dentro deste intervalo. Logo,

O que correspondem exatamente aos pontos de tangencia do plano na superfície

Passo 2

Agora, temos que descobrir as coordenadas destes pontos de tangência. Para isto, vamos criar uma reta que é perpendicular ao plano, logo tem vetor diretor , e que passa pelo centro da superfície. Portanto,

Agora, vamos obter a interseção desta reta com a superfície esférica. Substituindo as coordenadas do ponto na equação da superfície esférica, temos:

Logo, temos dois pontos: e . Só nos resta identificar qual nos retorna o e qual o . Para isto, basta substituir as coordenadas dos pontos na relação . Portanto, substituindo as coordenadas do ponto , temos:

Portanto,

Resposta

O valor máximo é 6 e o mínimo -6. Já os pontos são e .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine uma equação da superfície esférica que tem centro na reta x=1-y ⎨ z=1+2 y e passa por M=( 1,2 , 1 ) e N=( - 1,1 , 0 ) .

Determine a superfície esférica de menor área, tangente aos três planos coordenados e passando pelo ponto P =( 1 ,- 5 ,- 4 ) .

Determine o centro e o raio da circunferência, interseção do plano 2 x- y+ 3 z-3=0 com a superfície x 2+y 2+ z 2- 2 y- 2 z- 2=0 .

Determine as coordenadas das extremidades do diâmetro da superfície esférica e que é paralelo a reta x+ 1 =- y +5=z -7 .

Ache os planos que passam pela reta t : ( x , y , z )=( 4,5 , - 2 )+m ( 1 , - 1,0 ) e que cortam sobre a superfície esférica S :( x - 1 ) 2+( y - 2 ) 2+ ( z - 1 ) 2 = 16 circunferências de raio 7 .