Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 47
Determine os valores máximo e mínimo atingidos pela expressão (e os pontos e em que ocorrem) quando percorre a superfície esférica .
Passo 1
Queremos determinar os valores máximos e mínimos atingidos pela seguinte expressão:
Isto é, queremos descobrir esse valor de . Bom, esta equação acima parece com algo que já trabalhamos bastante. Vamos isolar tudo de um lado da equação. Portanto,
E a equação acima não é exatamente a equação de um plano? Portanto, estamos fazendo um plano percorrer uma superfície esférica. Então, como queremos que haja interseção, a seguinte relação deve ser satisfeita:
Como o centro da superfície é , temos:
Abrindo o módulo, temos:
Pronto, o valor de deve variar dentro deste intervalo. Logo,
O que correspondem exatamente aos pontos de tangencia do plano na superfície
Passo 2
Agora, temos que descobrir as coordenadas destes pontos de tangência. Para isto, vamos criar uma reta que é perpendicular ao plano, logo tem vetor diretor , e que passa pelo centro da superfície. Portanto,
Agora, vamos obter a interseção desta reta com a superfície esférica. Substituindo as coordenadas do ponto na equação da superfície esférica, temos:
Logo, temos dois pontos: e . Só nos resta identificar qual nos retorna o e qual o . Para isto, basta substituir as coordenadas dos pontos na relação . Portanto, substituindo as coordenadas do ponto , temos:
Portanto,
Resposta
O valor máximo é 6 e o mínimo -6. Já os pontos são e .