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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 7.Exercícios Propostos - Ex. 30

Dados: a reta r { x = y = z   e o plano π { 3 x   + 2 y   -   z   - 14   =   0 , escreva equações paramétricas da reta r ' , projeção ortogonal de r sobre π .

Passo 1

Fala, galera! Vamos coletar as informações dadas na questão.

Sobre a reta R   =   ( λ , λ , λ ) , podemos afirmar que o vetor diretor v r → = ( 1,1 , 1 ) e o ponto de sua origem é ( 0,0 , 0 ) .

Precisamos saber qual o ponto em que a reta r intercepta o plano π { 3 x   + 2 y   -   z   - 14   =   0 . Então, vamos descobrir para qual valor de λ há uma interseção com o plano :

3 λ   + 2 λ   -   λ   - 14   =   0   ⇒   4 λ   =   14   ⇒   λ   =   14 4   =   7 2 ,

ou seja, o ponto de interseção que buscamos ocorre em ( 7 2 ,   7 2 ,   7 2 ) .

Passo 2

Partiremos da ideia de que a projeção ortogonal da reta R sobre o plano π será como se pegássemos a sombra que essa reta faz no plano, dada pela reta r ' .

Então, precisamos achar um vetor normal, em sua forma parametrizada, que nos forneça o ponto em que a reta r ' comece. Ou seja:

n ' →     =   ( 0 ,   0,0 )   -   n → γ   = ( 0 ,   0,0 )     - ( 3,2 , - 1 ) γ   =   ( - 3 γ , - 2 γ ,   γ )   ,

onde ( 0 ,   0,0 ) é o ponto inicial da reta r e ( 3,2 , - 1 ) é o vetor normal do plano π .

Precisamos descobrir qual o valor de γ para que n ' →   cruze o plano π . Daí,

3 ( - 3 γ )   + 2 ( - 2 γ )   - ( γ )   - 14   =   0

⇒ - 9 γ   - 4 γ - γ   - 14   =   0   ⇒   γ   =   14 - 14   = - 1

Substituindo   γ   =   - 1 em n ' → para achar o ponto inicial da projeção desejada:

n ' →     =     ( - 3 ⋅ ( - 1 ) , - 2 ⋅ ( - 1 ) ,   - 1 )   =   ( 3,2 , - 1 )

Por fim, precisamos descobrir qual vetor diretor v r ' → = ( l , m , n ) que constrói a reta R ' e, assim, obteremos a equação paramétrica de r’.

x   = 3   + l   t

y   = 2   +   m t

z   = - 1   +   n t

Para finalizar, o vetor diretor da reta projetada, v r ' →   =   ( 7 2 ,   7 2 ,   7 2 )   - ( 3,2 , - 1 ) =   ( 1 2 , 3 2 , 9 2 ) .

Como não há nenhuma restrição, vamos trabalhar com o vetor sendo v r ' →   = ( 1,3 , 9 ) . Logo, a equação paramétrica da reta r ' será:

x   = 3   +   t

y   = 2   +   3 t

z   = - 1   +   9 t

Resposta

x   = 3 +   t

y   = 2   + 3 t

z   =   - 1   +   9 t  

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