Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 6h
Nos casos em que a equação dada descreve uma elipse de focos em algum dos eixos coordenados, especifique-o e calcule: a distância focal, a medida do eixo maior e a medida do eixo menor. Faça alguns esboços, a mão livre e com o auxílio do computador, para comparar.
Passo 1
Para resolvermos esta questão, temos que colocar as equações na seguinte forma:
Se os valores e forem maiores do que zero, então, temos uma elipse.
Pronto, a ideia da questão é tentar colocar as equações dadas exatamente na forma acima. Se conseguirmos, temos uma elipse. Caso contrário, não temos uma elipse.
Então, vamos começar a adaptar a nossa equação. Portanto,
Pronto, como e , temos sim uma elipse! Em especial, como , os focos estão localizados no eixo .
Passo 2
Agora, iremos determinar os outros parâmetros pedidos pela questão. Mas, antes disto, vamos determinar os parâmetros geométricos da elipse.
Logo,
Agora sim podemos calcular o que a questão nos pede.
A distância focal tem comprimento . Portanto, .
O eixo maior tem comprimento . Portanto, . Já o eixo menor tem comprimento . Logo, .
Passo 3
A questão também nos pede para compararmos o esboço a mão livre e com o uso de softwares. Entretanto, aqui será feito somente o esboço da elipse através de softwares.
Desta forma, temos:
Resposta
Os focos estão no eixo .
A distância focal tem comprimento . O eixo maior tem comprimento e o eixo menor tem comprimento .