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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 25.Exercício - Ex. 05

Nos casos em que a intersecção do plano π com o elipsoide Ω for uma elipse, determine seu centro, focos, vértices e excentricidade. Se for uma circunferência, determine o centro e o raio.

  1. Ω : x 2 64 + y 2 100 + z 2 4 = 1 . π : y - 5 = 0 .
  2. Ω : x 2 + 9 y 2 + 4 z 2 = 36 . π : x + 2 5 = 0 .
  3. Ω : 4 x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 - 2 = 0 . π : z + 1 3 = 0 .

Passo 1

  1. Substituindo y = 5 , temos

    2. x 2 64 + z 2 4 = 3 4 ⟹ x 2 48 + z 2 3 = 1

    O centro é 0 ,   5 ,   0 .

    Temos a 2 = 48 ⟹ a = 4 3 , b 2 = 3 ⟹ b = 3 , de modo que

    c 2 = a 2 - b 2 = 45 ⟹ c = 3 5

    Portanto, temos:

  • Focos ± 3 5 ,   5 ,   0 .
  • Vértices: ± 4 3 ,   5 ,   0 e 0,5 ,   ± 3 .

  e = c a = 3 5 4 3 = 15 4

Passo 2

  • Substituindo x = - 2 5 , temos

    • 9 y 2 + 4 z 2 = 36 - 20 = 16 ∴ y 2 16 / 9 + z 2 4 = 1

    Portanto, temos uma elipse de centro - 2 5 ,   0 ,   0 .

    Temos a 2 = 4 , b 2 = 16 9 (lembre-se que devemos ter a > b ). Assim, a = 2 , b = 4 / 3 e

    c 2 = a 2 - b 2 = 4 - 16 9 = 20 9 ⟹ c = 2 5 3

    Portanto, temos:

    • Focos: - 2 5 ,   0 ,   ± 2 5 / 3 ;
    • Vértices: - 2 5 ,   0 ,   ± 2 e - 2 5 ,   0 ,   ± 4 3 .

    A excentricidade será

    e = c a = 2 5 / 3 2 = 5 3

    Passo 3

  • Fazendo z = - 1 / 3 , temos

    • 4 x 2 + 4 y 2 + 1 - 2 = 0 ⟹ x 2 + y 2 = 1 4

    Que representa uma circunferência de centro 0 ,   0 ,   - 1 3 e raio R = 1 / 2 .

    Resposta

    Ei, a resposta está no passo a passo :)

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