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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 25.Exercício - Ex. 14

Descreva a curva interseção do hiperboloide Ω com o plano π e determine, quando for o caso centro, focos, assíntotas, raio.

  1. Ω : x 2 - 4 y 2 + 5 z 2 = 1                               π : z + 1 / 5 = 0 .
  2. Ω : - 3 x 2 - 4 z 2 + 5 y 2 = - 43               π : y = 1
  3. Ω : x 2 / 2 - y 2 / 2 - z 2 = 1 π : y + 2 = 0 .

Passo 1

  1. Basta fazer z = - 1 / 5 . Assim,

    2. x 2 - 4 y 2 + 5 - 1 5 2 = 1 ⟹ x 2 - 4 y 2 = 0 ∴ x - 2 y x + 2 y = 0

    Assim, ou x = 2 y ou x = - 2 y . Portanto, temos a reunião de duas retas que concorrem no ponto ( 0 ,   0 ,   - 1 / 5 ) .

    Passo 2

  2. Fazendo y = 1 , temos

    3. - 3 x 2 - 4 z 2 + 5 = - 43 ⟹ 3 x 2 + 4 z 2 = 48 ∴ x 2 16 + z 2 12 = 1

    Note que temos uma elipse de centro 0,1 , 0 ,

    c 2 = 16 - 12 = 4 ⟹ c = 2

    ∴ F = - 2 ,   1,0 ,   F ' = 2 ,   1,0

    Passo 3

  3. Fazendo y = - 2 , temos

x 2 2 - 2 - z 2 = 1 ⟹ x 2 2 - z 2 = 3 ∴ x 2 6 - z 2 3 = 1

É uma hipérbole de centro 0 ,   - 2 ,   0 , a 2 = 6 , b 2 = 3 , de modo que c = 3 . Portanto,

F = 3 , - 2,0 ,     F ' = - 3 , - 2,0

A assíntota pode ser obtida da seguinte maneira: pensando que x cresce muito, ficamos com

z 2 3 = x 2 6 - 1 ≈ x 2 6 ⟹ z = ± 1 2 x

Tal reta passa por 0 ,   - 2 ,   0 e 2 , - 2 ,   ± 1 . Portanto, temos

r 1 : X = 0 , - 2,0 + λ 2 , 0,1

r 2 : X = 0 , - 2,0 + λ 2 ,   0 ,   - 1

onde λ ∈ R .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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