Obtenha equações da reta perpendicular ao plano π = 10 x - 2 y + 4 z - 1 = 0 , que contém um diâmetro da superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x - 6 y + z - 11 = 0 .

A equação da reta é X = - 1 ,3, - 1 2 + α 5 , - 1,2 .

Enunciado

Bom pessoal, o primeiro passo é melhorar essa equação da esfera. Para isso vamos usar o método de completar quadrados:

Dá uma olhada nos termos com por exemplo:

Parecem muito com um produto notável que a gente conhece:

Então se somarmos dos dois lados:

Agora é só fazer a mesma coisa com os outros:

Então vamos somar dos dois lados:

E para o :

Então vamos somar dos dois lados:

Ok, agora fica mais fácil de interpretar o problema.

Se a reta que estamos procurando contém um diâmetro dessa superfície esférica, então ela passa pelo centro da esfera.

Se a equação de uma esfera é:

Então o centro da esfera é . Olhando para a nossa equação:

O centro é:

Ok, então a nossa reta passa por esse ponto.

Outra informação que o enunciado deu é que a reta é perpendicular a esse plano:

Quando temos uma equação geral de plano com essa forma aqui:

O vetor normal ao plano é:

Então o vetor normal ao plano do enunciado é:

E se uma reta é perpendicular ao plano então ela é paralela ao vetor normal .

Então a nossa reta é paralela a esse vetor:

E contém esse ponto:

Ou seja, a equação vetorial da reta é:

Já que é um parâmetro arbitrário, podemos colocar um em evidência ali:

E simplesmente trocar , então:

Pronto, essa é a equação da reta perpendicular ao plano e que contém um diâmetro da esfera.

A equação da reta é .