Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 7
Obtenha equações da reta perpendicular ao plano , que contém um diâmetro da superfície esférica .
Passo 1
Bom pessoal, o primeiro passo é melhorar essa equação da esfera. Para isso vamos usar o método de completar quadrados:
Dá uma olhada nos termos com por exemplo:
Parecem muito com um produto notável que a gente conhece:
Então se somarmos dos dois lados:
Agora é só fazer a mesma coisa com os outros:
Então vamos somar dos dois lados:
E para o :
Então vamos somar dos dois lados:
Ok, agora fica mais fácil de interpretar o problema.
Passo 2
Se a reta que estamos procurando contém um diâmetro dessa superfície esférica, então ela passa pelo centro da esfera.
Se a equação de uma esfera é:
Então o centro da esfera é . Olhando para a nossa equação:
O centro é:
Ok, então a nossa reta passa por esse ponto.
Passo 3
Outra informação que o enunciado deu é que a reta é perpendicular a esse plano:
Quando temos uma equação geral de plano com essa forma aqui:
O vetor normal ao plano é:
Então o vetor normal ao plano do enunciado é:
E se uma reta é perpendicular ao plano então ela é paralela ao vetor normal .
Passo 4
Então a nossa reta é paralela a esse vetor:
E contém esse ponto:
Ou seja, a equação vetorial da reta é:
Já que é um parâmetro arbitrário, podemos colocar um em evidência ali:
E simplesmente trocar , então:
Pronto, essa é a equação da reta perpendicular ao plano e que contém um diâmetro da esfera.
Resposta
A equação da reta é .