Dê a solução do sistema linear:{[[(d x)/(d t) = 4 x - 3 y],[(d y)/(d t) = 5 x - 4 y]])

x (t) = c_1 e^t + 3 c_2 e^(- t) y (t) = c_1 e^t + 5 c_2 e^(- t)

Enunciado

Pra resolver esse sisteminha, vamos começar escrevendo ele na forma matricial que aprendemos:

Agora vamos fazer o que a gente já aprendeu: calcular os autovalores e autovetores dessa matriz!

Calculando o determinante:

Chegamos em:

Isso nos dá duas soluções!

Agora a gente substitui ali em cima pra achar os autovetores! Primeiro :

Multiplicando, vamos obter duas equações equivalentes:

Então, o autovetor associado a é . Vamos pra :

Multiplicando, vamos ter uma equação só:

Então, o autovetor associado a é .

Por isso, a solução do sistema é:

Assim,