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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 14.Exercício - Ex. 1

Estudando Geometria Analítica em uma noite de sábado, Amanda resolveu vários exercícios que pediam equações de reta. Relacionamos a seguir as respostas dela e as do livro. Quais exercícios Amanda acertou?

Exercício A: X = 1 ,   2 ,   1 + λ   ( - 1 ,   2 ,   1 ) X = 1 ,   2 ,   1 + λ   - 1 2 ,   1 , 1 2

Exercício B: X = 1 3 ,   - 1 3 , 2 3 + λ   ( - 1 ,   1 ,   - 1 ) X = 1 ,   - 1 ,   2 + λ   ( - 1 ,   1 ,   - 1 )

Exercício C: X = 1 ,   1 ,   0 + λ   1 ,   0 ,   - 1 2 X = 0 ,   1 , 1 2 + λ   ( - 2 ,   0 ,   1 )

Passo 1

Vamos ajudar a Amanda a ver se ela acertou ou não os exercícios?

Note que aparentemente as respostas dela não batem com as respostas do livro, mas lembre-se de uma coisa: a equação paramétrica de uma reta não é única! Isso vale para você também, não só para a Amanda: muitas vezes você vai chegar numa resposta diferente da minha ou do gabarito do final do livro, mas não é por isso que ela necessariamente está errada...

A primeira coisa que temos que verificar é se as duas retas são paralelas. Vamos fazer isso no item (a). O vetor diretor de uma das retas é

u → = ( - 1 ,   2 ,   1 )

Já o da outra reta é

v → = - 1 2 ,   1 , 1 2

Note que

u → = 2   v →

Portanto, as retas são paralelas. Isso ainda não significa que as retas são iguais: para comprovar isso, temos que ver se elas passam por algum ponto em comum. Note que fazendo λ = 0 nas duas equações, obtemos

X = ( 1 ,   2 ,   1 )

Assim, ambas as retas passam por esse ponto. Como já sabemos que elas são paralelas, podemos afirmar que as duas retas são iguais! Isso significa que Amanda acertou esse exercício!

Passo 2

Agora vamos para o exercício B. Os vetores diretores das retas são os mesmos, de modo que elas são paralelas. Vamos fazer λ = 0 na primeira equação para obter um ponto da primeira reta:

X = 1 3 ,   - 1 3 , 2 3

Vamos ver se esse ponto está contido na outra reta:

1 3 ,   - 1 3 , 2 3 = 1 ,   - 1 ,   2 + λ   - 1 ,   1 ,   - 1 = 1 - λ ,   - 1 + λ ,   2 - λ

Assim, temos que

1 - λ = 1 3 ⇒ λ = 1 - 1 3 = 2 3

Mas note que com esse valor de λ , a terceira coordenada fica

2 - λ = 2 - 2 3 = 4 3 ≠ 2 3

Portanto, o ponto 1 3 ,   - 1 3 , 2 3 não pertence a segunda reta. Isso significa que as retas são paralelalas, mas são distintas. Amanda errou esse exercício.

Passo 3

Por fim, vamos ao exercício C. Os vetores diretors são

u → = 1 ,   0 ,   - 1 2               e             v → = ( - 2 ,   0 ,   1 )

Note que os vetores são paralelos:

v → = - 2   u →

Com isso, resta ver se as retas tem algum ponto em comum. Fazendo λ = 0 na primeira equação:

X = ( 1 ,   1 ,   0 )

Vamos ver se esse ponto está na segunda reta:

1 ,   1 ,   0 = 0 ,   1 , 1 2 + λ   - 2 ,   0 ,   1 = - 2 λ ,   1 , 1 2 + λ

Assim, temos que

- 2 λ = 1 ⇒ λ = - 1 2

Note que

1 2 + λ = 1 2 - 1 2 = 0

Com isso, vemos que esse ponto pertence as duas retas: as duas retas são iguais! Amanda acertou esse aqui!

Resposta

Errou apenas o exercício B.

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