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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 26.Exercício - Ex. 20a

A que condições devem obedecer os números a , b e c para que a superfície dada seja uma superfície de rotação em torno de algum dos eixos coordenados? Especifique o eixo de rotação.

  1. Elipsóide: x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 .
  2. Hiperbolóide de uma folha: - x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 .
  3. Hipérboloide de duas folhas: - x 2 a 2 - y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 .
  4. Parabolóide elíptico ou de rotação: y = x 2 a 2 + z 2 c 2 .
  5. Parabolóide hiperbólico: x = - y 2 b 2 + z 2 c 2 .
  6. Quádrica cilíndrica hiperbólica: x 2 a 2 - z 2 c 2 = 1 .
  7. Quádrica cônica: x 2 = - y 2 b 2 - z 2 c 2 .

Passo 1

Independentemente da superfície que estejamos trabalhando no espaço, para que ela seja de rotação, algo deve sempre ser satisfeito.

Este algo é: a interseção da superfície com algum plano (qualquer um, basta que exista um) dê uma circunferência.

Se a relação acima for satisfeita, temos uma superfície de revolução.

Bom, para o caso de um elipsoide, isto só ocorrerá se tivermos dois dos números a , b ou c iguais entre si. Por exemplo, temos três possibilidades:

x 2 a 2 + y 2 a 2 + z 2 c 2 = 1

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 a 2 = 1

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 b 2 = 1

Três possibilidades de elipsoide de rotação. O que distingue eles é o eixo de revolução.

Para identificarmos o eixo de revolução, basta identificar qual a variável que possui um denominador diferente. Esta variável indicará o eixo de revolução. Portanto, respectivamente, temos os seguintes eixos de revolução: O z , O y e O x .

Resposta

Para que seja O x , temos que ter b = c .

Para que seja O y , temos que ter a = c .

Para que seja O z , temos que ter a = b .

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