Obtenha, em cada caso, uma equação livre de parâmetros para a superfície cilíndrica cuja diretriz é a interseção das superfícies Ω 1 e Ω 2 e cujas geratrizes são paralelas à reta r . Ω 1 : x 2 + y 2 = z Ω 2 : x - y + z = 0 r : X = 1,2 , 3 + λ 1,1 , 1 Ω 1 : x 2 - x y + 1 = 0 Ω 2 : z = 0 r : x - 2 z + 3 = y - z = 3 Ω 1 : x y = z Ω 2 : x + y - z = 0 r : x = y = z Ω 1 : x + y + x y = 0 Ω 2 : z = 0 r : x = y = z Ω 1 : f x , y = 0 Ω 2 : z = 0 r : X = 0,0 , 0 + λ m , n , 1

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 26.Exercício - Ex. 1e

Obtenha, em cada caso, uma equação livre de parâmetros para a superfície cilíndrica cuja diretriz é a interseção das superfícies e e cujas geratrizes são paralelas à reta .

Passo 1

Precisamos obter uma superfície cilíndrica com geratrizes paralelas a reta , cujo vetor diretor é , e curva diretriz dada por:

Para isto, precisamos montar um sistema de equação que caracteriza a superfície .

Seja um ponto de coordenadas . Ele pertence a se, e somente se, existe um ponto que pertence a e .

Portanto, se pertence a , temos:

E, se , também temos:

Portanto, o sistema que devemos resolver consiste destas 5 equações. Logo,

Passo 2

Iremos resolver o sistema de 5 equações obtidas no final do Passo anterior. Para isto, vamos substituir as três últimas equações nas duas primeiras. Obteremos então:

Isolando o parâmetro na segunda equação, temos:

Portanto, a equação livre de parâmetros que buscamos é:

Resposta

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Completando os quadrados, identifique as superfícies de nível definidas por cada uma das formas quadráticas abaixo: 3 x 2 + 3 z 2 + 4 x y + 8 x z + 4 y z

Completando os quadrados, identifique as superfícies de nível definidas por cada uma das formas quadráticas abaixo: 4 x 2 + 3 y 2 - z 2 - 12 x y + 4 x z - 8 y z

Completando os quadrados, identifique as superfícies de nível definidas por cada uma das formas quadráticas abaixo: - 2 x 2 + 4 y 2 + 6 z 2 + 2 x y + 6 x z + 6 y z

Completando os quadrados, identifique as superfícies de nível definidas por cada uma das formas quadráticas abaixo: 3 x 2 + y 2 - 2 x y + 2 x z - 2 y z

Mostre que por cada ponto do paraboloide hiperbólico z = x 2 - y 2 passam duas retas inteiramente contidas nele.