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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 26.Exercício - Ex. 4b

Descreva, em cada caso, a curva-interseção do plano π com a superfície cilíndrica de geratrizes paralelas a r → , cuja diretriz é a interseção das superfícies Ω 1 e Ω 2 .

  1. Ω 1 : x 2 + y 2 + z - 1 2 = 1 Ω 2 : y + z = 2 r → = 0,1 , 1 π : z = 0
  2. Ω 1 : x 2 + 3 y 2 + z 2 = 17 / 4 Ω 2 : 2 x - y = 0 r → = 1,1 , - 2 π : 2 x + z = 0

Passo 1

Temos que resolver esta questão com calma. Primeiro, vamos obter a superfície cilíndrica com geratrizes paralelas a r → = 1,1 , - 2 e curva diretriz Γ dada por:

Γ : x 2 + 3 y 2 + z 2 = 17 / 4 2 x - y = 0

Somente depois de obtermos a superfície Ω , vamos fazer a sua interseção com o plano π e entender o que esta interseção significa.

Passo 2

Agora, vamos montar o sistema de equações que precisamos resolver.

Um ponto X = x , y , z pertence a Ω se, e somente se, existe um ponto Q = u , v , w que pertence a Γ e X Q → = λ r → .

Portanto, se Q pertence a Γ , temos:

u 2 + 3 v 2 + w 2 = 1 7 / 4 2 u - v = 0

E, se X Q → = λ r → , também temos:

u = x + λ v = y + λ w = z - 2 λ

Portanto, o sistema que devemos resolver consiste destas 5 equações. Logo,

u 2 + 3 v 2 + w 2 = 17 / 4 2 u - v = 0 u = x + λ v = y + λ w = z - 2 λ

Passo 3

Iremos resolver o sistema de 5 equações obtidas no final do Passo anterior. Para isto, vamos substituir as três últimas equações nas duas primeiras. Obteremos então:

x + λ 2 + 3 y + λ 2 + z - 2 λ 2 = 17 / 4 2 x + λ - y + λ = 0 u = x + λ v = y + λ w = z - 2 λ

Vamos desenvolver a segunda equação para conseguir isolar o parâmetro λ . Portanto,

2 x + 2 λ - y - λ = 0

λ = y - 2 x

λ = y - 2 x

Portanto, a equação livre de parâmetros que buscamos é:

x + λ 2 + 3 y + λ 2 + z - 2 λ 2 = 17 / 4

x + y - 2 x 2 + 3 y + y - 2 x 2 + z - 2 y + 4 x 2 = 17 / 4

y - x 2 + 3 2 y - 2 x 2 + z - 2 y + 4 x 2 = 17 / 4

Ω : y - x 2 + 3 2 y - 2 x 2 + z - 2 y + 4 x 2 = 17 / 4

Passo 4

Já finalizamos a questão? Nãooooo! Precisamos fazer a interseção da superfície Ω obtida no final do Passo 3 com o plano π : 2 x + z = 0 . Portanto, temos que resolver o seguinte sistema:

y - x 2 + 3 2 y - 2 x 2 + z - 2 y + 4 x 2 = 17 / 4 2 x + z = 0

Substituindo z = - 2 x na primeira equação, temos:

y - x 2 + 3 2 y - 2 x 2 + - 2 y + 2 x 2 = 17 4

y - x 2 + 3 2 y - 2 x 2 + 2 y - 2 x 2 = 17 4

y - x 2 + 2 2 y - 2 x 2 = 17 4

y - x 2 + 8 y - x 2 = 17 4

9 y - x 2 = 17 4

y - x 2 = 17 36

Portanto, temos duas possibilidades:

y = x + 17 36

y = x - 17 36

O que significa duas retas paralelas no plano π : 2 x + z = 0 !

Passo 5

Para escrevermos a equação vetorial desta reta no espaço, basta substituir as relações nas coordenadas de um ponto X = x , y , z . Sendo assim,

r : X = x , y , z

r : X = x , x ± 17 36 , - 2 x

r : X = 0 , ± 17 36 , 0 + x 1,1 , - 2

r : X = 0 , ± 17 36 , 0 + λ 1,1 , - 2

Resposta

A curva interseção são duas retas paralelas contidas no plano π dadas por:

r : X = 0 , ± 17 36 , 0 + λ 1,1 , - 2

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Prove que, se dois dos números a , b e c são iguais, o elipsoide Ω : x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 é uma superfície de rotação. Especifique o eixo de rotação.
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