Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 16.Exercício - Ex. 6
Dê condições sobre e para que as retas e determinem um plano:
Passo 1
Nosso primeiro passo vai ser encontrar a equação das reta retas e ta bom?
Vamos lá:
Da primeira equação, temos , substituindo na segunda:
Então, a reta é assim:
Passo 2
Agora vamos encontrar a reta :
Multiplicando a segunda equação por :
Somando as duas equações:
Substituindo na segunda equação:
Então a equação é assim:
Passo 3
Para que as retas formem um plano, elas devem ser paralelas distintas ou concorrentes certo?
Para que elas sejam paralelas, seus vetores diretores devem ser múltiplos:
Igualando as coordenadas:
Das primeiras equações, temos , substituindo na terceira:
Resolvendo essa equação, encontramos e , ou seja, para esses dois valores de as retas são paralelas, agora basta vermos quando elas vão ser paralelas distintas hehe
Passo 4
Para que as retas sejam paralelas distintas, o ponto de não pode pertencer à reta .
Vamos ver para quais valores de ele pertence, e aí saberemos que pra diferente desse valor, ele não vai pertencer e as retas serão distintas hahaha
Para que o ponto pertença à reta:
Testando para :
Igualando as coordenadas:
Resolvendo esse sistema, encontramos e .
Ou seja, para , as retas são paralelas coincidentes, e não queremos isso.
Então, para que as retas sejam paralelas distintas e assim formem um plano, temos que ter ou e ;)
Passo 5
Já para as retas serem concorrentes, antes de tudo os seus vetores diretores devem ser LI, ou seja, e .
Dado de e , temos que calcular o determinante com linhas e igualar a 0, para assim as retas serem concorrentes.
Calculando o determinante, temos:
Então, para que as retas sejam concorrentes, devemos ter e e .
Resposta
ou e (assim serão paralelas distintas)
e e (assim serão concorrentes)