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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 16.Exercício - Ex. 6

Dê condições sobre m e n para que as retas r e s determinem um plano:

r :   x - y = 1 n x - y - 2 z + m + 1 = 0                               s :   x - n z + m + n = 0 x + y - 2 n z + 11 = 0

Passo 1

Nosso primeiro passo vai ser encontrar a equação das reta retas r e s ta bom?

Vamos lá:

r :   x - y = 1 n x - y - 2 z + m + 1 = 0  

Da primeira equação, temos y = x - 1 , substituindo na segunda:

n x - ( x - 1 ) - 2 z + m + 1 = 0

n x - x + 1 - 2 z + m + 1 = 0

2 z = x n - 1 + m + 2

z = x n - 1 2 + m + 2 2

Então, a reta r é assim:

x ,   y ,   z = x ,   x - 1 ,   x n - 1 2 + m + 2 2

x ,   y ,   z = 0 ,   - 1 , m + 2 2 + λ 1 ,   1 , n - 1 2

Passo 2

Agora vamos encontrar a reta s :

x - n z + m + n = 0 x + y - 2 n z + 11 = 0

Multiplicando a segunda equação por - 1 :

x - n z + m + n = 0 - x - y + 2 n z - 11 = 0

Somando as duas equações:

- y - n z + 2 n z + m + n - 11 = 0

- y + z - n + 2 n + m + n - 11 = 0

- y + n z + m + n - 11 = 0

y = n z + m + n - 11

Substituindo na segunda equação:

x + n z + m + n - 11 - 2 n z + 11 = 0

x + z n - 2 n + m + n = 0

x = n z - m - n

Então a equação é assim:

x ,   y ,   z = ( n z - m - n ,   n z + m + n - 11 ,   z )

x ,   y ,   z = - m - n ,   m + n - 11 ,   0 + λ ( n ,   n ,   1 )

Passo 3

Para que as retas formem um plano, elas devem ser paralelas distintas ou concorrentes certo?

Para que elas sejam paralelas, seus vetores diretores devem ser múltiplos:

1 ,   1 , n - 1 2 = α ( n ,   n ,   1 )

Igualando as coordenadas:

α n = 1 α n = 1 α = n - 1 2

Das primeiras equações, temos α = 1 n , substituindo na terceira:

1 n = n - 1 2

n 2 - n = 2

n 2 - n - 2 = 0

Resolvendo essa equação, encontramos n = 2 e n = - 1 , ou seja, para esses dois valores de n as retas são paralelas, agora basta vermos quando elas vão ser paralelas distintas hehe

Passo 4

Para que as retas sejam paralelas distintas, o ponto - m - n ,   m + n - 11 ,   0 de s não pode pertencer à reta r .

Vamos ver para quais valores de m ele pertence, e aí saberemos que pra m diferente desse valor, ele não vai pertencer e as retas serão distintas hahaha

Para que o ponto pertença à reta:

- m - n ,   m + n - 11 ,   0 = 0 ,   - 1 , m + 2 2 + λ 1 ,   1 , n - 1 2

Testando para n = 2 :

- m - 2 ,   m - 9 ,   0 = 0 ,   - 1 , m + 2 2 + λ 1 ,   1 , 1 2

Igualando as coordenadas:

- m - 2 = λ m - 9 = - 1 + λ 0 = m + 2 2 + λ 2

Resolvendo esse sistema, encontramos m = 3 e λ = - 5 .

Ou seja, para m = 3 , as retas são paralelas coincidentes, e não queremos isso.

Então, para que as retas sejam paralelas distintas e assim formem um plano, temos que ter n = 2 ou n = - 1 e m ≠ 3 ;)

Passo 5

Já para as retas serem concorrentes, antes de tudo os seus vetores diretores devem ser LI, ou seja, n ≠ 2 e n ≠ - 1 .

Dado A = 0 ,   - 1 , m + 2 2 de r e B = - m - n ,   m + n - 11 ,   0 , temos que calcular o determinante com linhas r → ,   s → ,   A B → e igualar a 0, para assim as retas serem concorrentes.

Calculando o determinante, temos:

m + n - 5 = 0

m + n = 5

Então, para que as retas sejam concorrentes, devemos ter n ≠ 2 e n ≠ - 1 e m + n = 5 .

Resposta

n = 2 ou n = - 1 e m ≠ 3 (assim serão paralelas distintas)

n ≠ 2 e n ≠ - 1 e m + n = 5 (assim serão concorrentes)

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Sabendo que as retas r 1 e r 2 são ortogonais, determinar o valor de m para os casos:a) r 1 : x = 2 m t - 3 y = 1 + 3 t z = - 4 t e r 2 : x = 2 y - 1 z = - y + 4 b) r 1 : y = m x + 3 z = x - 1 e r 2 :
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