Prove que um isomorfismos de espaços vetoriais com produto interno preserva ângulos e distâncias, ou seja, mostre que o ângulo entre e em é igual ao ângulo entre e em e que .
Passo 1
Se e são espaços com produto interno, dizemos que um isomorfismos é um isomorfismo de espaços com produto interno se
Passo 2
E sabemos que pra calcular o ângulo entre dois vetores usamos a Desigualdade de Cauchy-Schwarz, que diz que
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Passo 3
Temos por definição de módulo que
Como , vamos ter que
Portanto mostramos que um isomorfismo de espaços com produto interno preserva ângulos, ou seja, dados e em , o ângulo entre eles é igual ao ângulo entre e . E além disso, mostramos também que .
Resposta
Demonstração