Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.2 - Ex. 18
Prove que um isomorfismos de espaços vetoriais com produto interno preserva ângulos e distâncias, ou seja, mostre que o ângulo entre e em é igual ao ângulo entre e em e que .
Passo 1
Se e são espaços com produto interno, dizemos que um isomorfismos é um isomorfismo de espaços com produto interno se
Passo 2
E sabemos que pra calcular o ângulo entre dois vetores usamos a Desigualdade de Cauchy-Schwarz, que diz que
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Passo 3
Temos por definição de módulo que
Como , vamos ter que
Portanto mostramos que um isomorfismo de espaços com produto interno preserva ângulos, ou seja, dados e em , o ângulo entre eles é igual ao ângulo entre e . E além disso, mostramos também que .
Resposta
Demonstração
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Dentre as seguintes função, verificar quais são lineares. T :R 2 → R , T x , y = x
Dentre as seguintes função, verificar quais são lineares. T :R 2 → R 3 , T x , y = ( x - y , 3 x , - 2 y )
Dentre as seguintes função, verificar quais são lineares. T :M ( 2 ,2 ) → R 2 , T a b c d = ( a - c ,b + c )
Dentre as seguintes função, verificar quais são lineares. T :R 2 → R 2 , T x , y = ( x 2 + y 2 ,x )
Dentre as seguintes função, verificar quais são lineares. T :R 2 → M 2 ,2 , T x , y = 2 y 3 x - y x + 2 y