Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.2 - Ex. 11
- Encontre um isomorfismo entre o espaço vetorial de todas as matrizes simétricas e .
- Encontre dois isomorfismos diferentes entre o espaço de todas as matrizes e .
- Encontre dois isomorfismos diferentes entre o espaço vetorial de todos os polinômios de grau no máximo 3 e tais que e .
- Encontre um isomorfismo entre os espaços vetoriais e .
Passo 1
Show de bolinhas galera, de acordo com a Definição 3, “Se uma transformação linear for injetora e sobre, dizemos que é um isomorfismo e os espaços vetoriais são isomorfos”. Então precisamos encontrar uma transformação que respeite as condições.
Passo 2
Na letra (a), temos que encontrar um isomorfismo entre o espaço vetorial de todas as matrizes simétricas e , suponha que
Seja a matriz que representa todas as matrizes simétricas. Logo, temos 6 coordenadas distintas, e . E podemos usar elas para chegarmos em ,
Ela é injetora, já que apenas se , o que quer dizer que . E também é sobrejetora, já que o contradomínio é , e dado o vetor da imagem , .
Passo 3
Na letra (b), vamos ter o mesmo raciocínio, só que agora nossa transformação é dada por , então suponha que
Podemos ter
Ambas são injetoras, já que se , então . Da mesma maneira, podemos gerar a partir da combinação de ou de .
Passo 4
Na letra (c), queremos encontrar dois isomorfismos diferentes entre o espaço vetorial de todos os polinômios de grau no máximo 3 e tais que e . O problema aqui é que os polinômios de grau 3, possuem 4 coordenadas, . Logo não existe isomorfismo de e .
Passo 5
Na letra (d) também temos uma incoerência, já que o espaço gerado por não atinge o vetor e nenhuma ocasião, fazendo com que a transformação não seja injetora.
Resposta
- Não possui