1. Encontre um isomorfismo entre o espaço vetorial de todas as matrizes 3 × 3 simétricas e R 6 .
  2. Encontre dois isomorfismos diferentes entre o espaço de todas as matrizes 2 × 2 e R 4 .
  3. Encontre dois isomorfismos diferentes entre o espaço vetorial de todos os polinômios de grau no máximo 3 e tais que p 0 = 0 e R 3 .
  4. Encontre um isomorfismo entre os espaços vetoriais g e r { 1 ,   s e n x , cos ⁡ x } e R 3 .

Passo 1

Show de bolinhas galera, de acordo com a Definição 3, “Se uma transformação linear T : V → W for injetora e sobre, dizemos que T é um isomorfismo e os espaços vetoriais V   e   W são isomorfos”. Então precisamos encontrar uma transformação que respeite as condições.

Passo 2

Na letra (a), temos que encontrar um isomorfismo entre o espaço vetorial de todas as matrizes 3 × 3 simétricas e R 6 , suponha que

A = a b c b d e c e f

Seja a matriz que representa todas as matrizes 3 × 3 simétricas. Logo, temos 6 coordenadas distintas, a ,   b ,   c ,   d ,   e e f . E podemos usar elas para chegarmos em R 6 , T : M 3 × 3 → R 6

T a b c b d e c e f = ( a ,   b ,   c ,   d ,   e ,   f )

Ela é injetora, já que T A = 0 , apenas se A = 0 , o que quer dizer que N u c T = 0 . E também é sobrejetora, já que o contradomínio é R 6 , e dado o vetor da imagem ( a ,   b ,   c ,   d ,   e ,   f ) , R 6 = { a ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   b ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   c ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   d ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   e ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   f } .

Passo 3

Na letra (b), vamos ter o mesmo raciocínio, só que agora nossa transformação é dada por T : M 2 × 2 → R 4 , então suponha que

A = a b c d

Podemos ter

T a b c d = a ,   b ,   c ,   d   e   T a b c d = ( a ,   c ,   b ,   d )

Ambas são injetoras, já que se T A = 0 , então A = 0 . Da mesma maneira, podemos gerar R 4 a partir da combinação de { a ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   b ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   c ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   d } ou de { a ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   c ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   b ,   0 ,   0 ,   0 ,   0 ,   d } .

Passo 4

Na letra (c), queremos encontrar dois isomorfismos diferentes entre o espaço vetorial de todos os polinômios de grau no máximo 3 e tais que p 0 = 0 e R 3 . O problema aqui é que os polinômios de grau 3, possuem 4 coordenadas, ( a ,   x ,   x 2 ,   x 3 ) . Logo não existe isomorfismo de P 3 e R 3 .

Passo 5

Na letra (d) também temos uma incoerência, já que o espaço gerado por { 1 ,   s e n x , cos ⁡ x } não atinge o vetor 0 → e nenhuma ocasião, fazendo com que a transformação não seja injetora.

Resposta

  1. T a b c b d e c e f = a ,   b ,   c ,   d ,   e ,   f
  2. T a b c d = a ,   b ,   c ,   d   e   T a b c d = ( a ,   c ,   b ,   d )
  3. N ã o   p o s s u i
  4. Não possui
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