Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 3.1 - Ex. 4

Mostrar que o conjunto { 1 , e^x , x e^x } de vetores de C [ (0,1) ] é L.I.

Passo 1

Vamos lá! Para demonstrar que o conjunto { 1 , e^x , x e^x } de vetores de C [ (0,1) ] é L.I, precisamos calcular o Wronskiano.

Lembrando que o Wronskiano nada mais é do que:

W (f_1 , f_2 , ... , f_n) = |[[f_1,f_2,...,f_n],[f '_1,f '_2,...,f '_n],[vdots,vdots,ddots,vdots],[f_1^(( n - 1 )),f_2^(( n - 1 )),...,f_n^(( n - 1 ))]]|

Beleza?

Então precisaremos determinar as derivadas:

f_1 = 1 , f '_1 = 0 , f ' '_1 = 0

f_2 = e^x , f '_2 = e^x , f ' '_2 = e^x

f_3 = x e^x , f '_3 = ( x + 1 ) e^x , f ' '_3 = ( x + 2 ) e^x

Assim,

W (1 , e^x , x e^x) = |[[1,e^x,x,e^x],[0,e^x,(,x,+,1,),e^x],[0,e^x,(,x,+,2,),e^x]]|

Calculando o determinante, teremos

W (1 , e^x , x e^x) = (x + 2) e^(2 x) + 0 + 0 - 0 - (x + 1) e^(2 x) - 0 = (x + 2) e^(2 x) - (x + 1) e^(2 x) = e^(2 x)

Perceba que e^(2 x) nunca se anula. Portanto, podemos garantir que o conjunto é Linearmente Independente.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar o subespaço do R 3 gerado pelo seguinte conjunto: { 1 ,2 ,- 1 ,- 1 ,1 ,0 ,0 ,0 ,2 ,- 2 ,1 ,0 }
Determinar o subespaço do R 3 gerado pelo seguinte conjunto: { - 1 ,1 ,0 ,0 ,1 ,- 2 ,( - 2 ,3 ,1 ) }
Sendo v_1 = (1 , 2) in R^2 , determinar v_2 in R^2 tal que { v_1 , v_2 } seja base de R^2 .
Determinar o subespaço de P 2 (espaço vetorial dos polinômios de grau ≤ 2 ) gerado pelos seguintes vetores: p 1 = x 2 p 2 = x 2 + x
Verificar se o vetor v = ( - 1 ,- 3 ,2 ,0 ) pertence ao subespaço do R 4 gerado pelos vetores v 1 = ( 2 ,- 1 ,3 ,0 ) , v 2 = ( 1 ,0 ,1 ,0 ) e v 3 = ( 0 ,1 ,- 1 ,0 ) .