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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 3.1 - Ex. 7

Determinar m e n para que os conjuntos de vetores do R 3 dados abaixo sejam L.I.

  1. 3 ,   5 m ,   1 ,   2 ,   0 ,   4 ,   1 ,   m ,   3
  2. { 1 ,   3 ,   5 ,   2 ,   m + 1 ,   10 }
  3. { 6 ,   2 ,   n ,   3 ,   m + n ,   m - 1 }

Passo 1

Show de bola galera, sabemos que dado o conjunto de vetores V = { v 1 ,   v 2 ,   … ,   v n } , ele é L.I, se

a 1 v 1 + a 2 v 2 + ⋯ + a n v n = 0

Implicar que a 1 = a 2 = ⋯ = a n = 0 .

Passo 2

Logo, na letra (a) temos o conjunto

3 ,   5 m ,   1 ,   2 ,   0 ,   4 ,   1 ,   m ,   3

Então

a 1 3 ,   5 m ,   1 + a 2 2 ,   0 ,   4 + a 3 1 ,   m ,   3 = 0 ,   0 ,   0

E para calcular a solução podemos montar uma matriz e escaloná-la

a 1 3 ,   5 m ,   1 + a 2 2 ,   0 ,   4 + a 3 1 ,   m ,   3 = 0 ,   0 ,   0 ⇒ 3 2 1 5 m 0 m 1 4 3 0 0 0

3 2 1 5 m 0 m 1 4 3 0 0 0 ⇒ L 1 = L 1 - 3 L 3 L 2 = L 2 - 5 m L 3   = 0 - 10 - 8 0 - 20 m - 14 m 1 4 3 0 0 0

⇒ L 1 = - 1 2 L 1 L 2 = - 1 2 L 2   = 0 5 4 0 10 m 7 m 1 4 3 0 0 0 ⇒   L 2 = L 2 - 2 m L 1   = 0 5 4 0 0 - m 1 4 3 0 0 0

Logo, se essa matriz quadrada possuir alguma linha de zeros, nosso conjunto será L.D, na segunda linha temos 0 + 0 - m a 3 = 0 , então para nosso conjunto ser L.I, m ≠ 0 .

Passo 3

Na letra (b), temos o conjunto { 1 ,   3 ,   5 ,   2 ,   m + 1 ,   10 } , e na forma de matriz fica

a 1 1 ,   3 ,   5 + a 2 2 ,   m + 1 ,   10 = 0 ,   0 ,   0 ⇒ 1 2 3 m + 1 5 10 0 0 0

1 2 3 m + 1 5 10 0 0 0 ⇒   L 2 = L 2 - 3 L 1   L 3 = L 3 - 5 L 1 = 1 2 0 m - 5 0 0 0 0 0

Logo da nossa segunda linha, se ela for igual a 0 , não conseguiremos definir uma solução única e portanto ela seria L.D, MAAASS não queremos isso, então

0 + m - 5 a 2 = 0

m ≠ 5

Passo 4

Na letra (c), temos o conjunto { 6 ,   2 ,   n ,   3 ,   m + n ,   m - 1 } , e montando a matriz obtemos

a 1 6 ,   2 ,   n + a 2 3 ,   m + n ,   m - 1 = 0 ,   0 ,   0 ⇒ 6 3 2 m + n n m - 1 0 0 0

6 3 2 m + n n m - 1 0 0 0 ⇒   L 2 = L 2 - 1 3 L 1   L 3 = L 3 - 1 6 n L 1 = 6 3 0 m + n - 1 0 m - n 2 - 1 0 0 0

⇒       L 3 = L 3 - L 2 = 6 3 0 m + n - 1 0 - 3 n 2 0 0 0

Logo da terceira linha tiramos que 0 - 3 2 n a 2 = 0 , n = 0 . E da segunda linha

0 + m + n - 1 a 2 = 0

m - 1 a 2 = 0 ⇒ m ≠ 1

Resposta

  1. m ≠ 0 .
  2. m ≠ 5 .
  3. m ≠ 1 ,   n = 0 .
Ver Outros Exercícios desse livro

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Seja o conjunto A = { v 1 , v 2 } , sendo v 1 = - 1 ,3 ,- 1 e v 2 = ( 1 ,- 2 ,4 ) .Determinar:O subespaço G ( A ) .O valor de k para que o vetor v = ( 5 ,k ,11 ) pertença a G ( A ) .
Determine o subespaço do R 3 gerado pelo seguinte conjunto: { 1 ,0 ,1 ,0 ,1 ,1 ,- 1 ,1 ,0 }
Determine o subespaço do R 3 gerado pelo seguinte conjunto: - 1 ,3 ,2 ,2 ,- 2 ,1
Determinar o subespaço do R 3 gerado pelo conjunto: A = { 2 ,- 1 ,3 }
Determinar o subespaço do R 3 gerado pelo seguinte conjunto: { 1 ,2 ,- 1 ,- 1 ,1 ,0 ,- 3 ,0 ,1 ,- 2 ,- 1 ,1 }