Enunciado

Mostre que M_E E = I_3 .

Passo 1

O exercício pede para mostrarmos que a matriz de mudança de base de uma base para ela própria é a matriz identidade. Para isso, consideramos a base E = ( vec e_1 , vec e_2 , vec e_3 ) . Escrevendo cada um dos vetores dessa base, obtemos

vec e_1 = (1 , 0 , 0)_E

vec e_2 = (0 , 1 , 0)_E

vec e_3 = (0 , 0 , 1)_E

Passo 2

Para construir a matriz de mudança de base, basta colocar em cada coluna as coordenadas de cada vetor. Assim, a primeira coluna será 1 , 0 , 0 , a segunda coluna será 0 , 1 , 0 e a terceira será 0 , 0 , 1 :

M_E E = [[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]]

Note que essa é exatamente a matriz identidade:

M_E E = I_3

Resposta

Demonstração.

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Sejam F 1 e F 2 ∈ R 3 * definidas por F 1 x , y , z = x - 3 y + 2 z e F 2 x , y , z = 2 x - y + z . Determinar F 1 + F 2 , 2 F 1 + 3 F 2 e os respectivos núcleos.
Seja B = { u 1 , … , u n } uma base do espaço vetorial V e seja C = { v 1 , … , v n } onde v i = u n - i + 1 . Provar que C é uma base de V e calcular a matriz de mudança de B para C .
Seja B = { u 1 , … , u n } uma base do espaço V e seja C = { u 1 , u 1 - u 2 , … , u 1 - u n } . Mostrar que C é tambpem uma base de V . Achar as matrizes de mudança de base de B para C e de C para B
Determinar as coordenadas de 1 - 2 i ∈ C em relação à seguinte base de C sobre R : 1 - i ,1 + i .
Determinar as coordenadas do vetor 1,1 , i ∈ C 3 em relação à seguinte base 1,0 , 0 , 0 , i , 0 , 1 , i , 1 + i .