Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 8.Exercício - Ex. 3
Escreva a matriz de mudança de base para a base e exprima o vetor em função de e , sabendo que , e .
Passo 1
Essa é uma questão bem clássica sobre mudança de base! O enunciado fornece duas bases: e . Foi dado também que
Um vetor foi dado na base :
O que queremos é escrever o vetor na base . Para isso, usamos a equação
Para isso, temos que construir a matriz de mudança de base !
Passo 2
Construir a matriz é simples: as colunas serão os vetores da base escritas em termos da base :
Note que basta colocar as coordenadas dos vetores , e nas colunas da matriz!
Passo 3
Como temos escrito na base , temos que
Assim,
Fazendo a multiplicação de matrizes:
Portanto,
Ou ainda,
Resposta
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Em cada parte, encontre o vetor de coordenadas de v em relação à base S = v 1 ,v 2 ,v 3 de R 3 .a) v = 2 ,- 1 ,3 , v 1 = 1 ,0 ,0 , v 2 = 2 ,2 ,0e v 3 = 3 ,3 ,3 b) v = 5 ,- 12 ,3 ; v 1 = 1 ,2 ,3 , v 2
Considere as bases B = u 1 ,u 2 ,u 3 e B ' = u 1 ' ,u 2 ' ,u 3 ' de R 3 , em que u 1 = - 3 0 - 3 ,u 2 = - 3 2 - 1 , u 3 = 1 6 - 1 u 1 ' = - 6 - 6 0 ,u 2 ' = - 2 - 6 4 , u 3 ' = - 2 - 3 7 a) Encontre a
Considere as bases B = u 1 ,u 2 ,u 3 e B ' = u 1 ' ,u 2 ' ,u 3 ' de R 3 , em que u 1 = 2 1 1 ,u 2 = 2 - 1 1 , u 3 = 1 2 1 u 1 ' = 3 1 - 5 ,u 2 ' = 1 1 - 3 , u 3 ' = - 1 0 2 a) Encontre a matriz de tra
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Em cada parte, encontre o vetor de coordenadas de w em relação à base S = u 1 ,u 2 de R 2 .a) u 1 = 1 ,0 ,u 2 = 0 ,1 ew = 3 ,- 7 b) u 1 = 2 ,- 4 , u 2 = 3 ,8 ew = 1 ,1 c) u 1 = 1 ,1 , u 2 = 0 ,2ew = a