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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 5

Se A   =   ( a ,   b )   e   C   =   ( c ,   d ) , sabemos que a expressão a c   +   b d   permanece invariante por mudança de coordenadas pois ´e o produto interno hu, v i   =   | u | · | v | · c o s   A O ^ C b , onde u   =   O A →   e   v   =   O C → . Mostre diretamente que se A   =   ( a   ' ,   b '   )   e   C   =   ( c   ' ,   d '   ) num novo sistema de coordenadas, então a ' c   '   +   b ' d '   =   a c   +   b d .

Passo 1

Olá galera! tudo bem?

Bora junto resolver mais um problema!

Bora lá então!

Este exercício é de demonstração e vai requerer um pouco mais de domínio teórico de álgebra Preparado?

Vamos provar essa afirmação por absurdo, tranquilo?

Inicialmente queremos provar que

a ' c   '   +   b ' d '   =   a c   +   b d  

Para que isso ocorra teremos obrigatoriamente que a ²   +   b ²   = 1 ou seja temos

a   =   c o s α   e   b   =   s e n α

Para essa rotação gere as equações descrita acima temos que α =   90 ° como descrito no livro texto.

Cujo o produto interno será 1 o que torna esse novo sistema invariante

Prontinho, acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

Produto interno constante o sistema será invariante

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