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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.4 - Ex. 17

Considere a reta l em R 2 dada pelas equações

x = t ,     y = t ,     z = t

E a reta m dada pelas equações

x = s ,     y = 2 s - 1 ,     z = 1

Sejam P um ponto em l e Q um ponto em m . Minimize a distância ao quadrado P - Q 2 e, com isso, encontre os valores de t e s que minimizam a distância entre essas retas.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos que qualquer ponto P que passa pela reta l , pode ser denotado por:

P t , t , t

E, qualquer ponto Q que ássa por m pode ser denotado por:

Q s ,   2 s - 1 ,   1

Temos então que, a distância ao quadrado será:

P - Q 2 = t , t , t - s ,   2 s - 1 ,   1 2

P - Q 2 = t - s , t - 2 s + 1 , t - 1 2

Resolvendo, temos que:

P - Q 2 = t - s 2 + t - 2 s + 1 2 + t - 1 2

Passo 2

Para encontrar os valores de t e s que minimizam a distância, temos que fazer um estudo da primeira e da segunda derivada.

Seja E = P - Q 2 , temos que o mínimo de E ocorre quando:

∂ E ∂ s = 0

∂ E ∂ t = 0

Se:

∂ 2 E ∂ s 2 > 0

∂ 2 E ∂ t 2 > 0

Vamos então avaliar as derivadas. Temos que:

∂ E ∂ t = 2 t - s + 2 t - 2 s + 1 + 2 t - 1

∂ E ∂ s = - 2 t - s - 4 t - 2 s + 1

∂ 2 E ∂ t 2 = 2 + 2 + 2 = 6

∂ 2 E ∂ s 2 = 2 + 8 = 10

Portanto, podemos então dizer que E atinge seu mínimo em ∂ E ∂ s = 0 e   ∂ E ∂ t = 0 , logo:

∂ E ∂ s = - 2 t - s - 4 t - 2 s + 1 = 0

3 t - 3 s = 0

E:

  ∂ E ∂ t = 2 t - s + 2 t - 2 s + 1 + 2 t - 1 = 0

- 6 t + 10 s - 4 = 0

Da primeira equação, podemos inferir que t = s , substituindo na segunda equação, temos:

- 6 t + 10 t - 4 = 0

t = 4 4 = 1

Logo:

s = 1

Resposta

P - Q 2 = t - s 2 + t - 2 s + 1 2 + t - 1 2

t = s = 1

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