Considere a reta l em R 2 dada pelas equações x = t , y = t , z = t E a reta m dada pelas equações x = s , y = 2 s - 1 , z = 1 Sejam P um ponto em l e Q um ponto em m . Minimize a distância ao quadrado P - Q 2 e, com isso, encontre os valores de t e s que minimizam a distância entre essas retas.

P - Q 2 = t - s 2 + t - 2 s + 1 2 + t - 1 2 t = s = 1

Enunciado

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos que qualquer ponto que passa pela reta , pode ser denotado por:

E, qualquer ponto que ássa por pode ser denotado por:

Temos então que, a distância ao quadrado será:

Resolvendo, temos que:

Para encontrar os valores de e que minimizam a distância, temos que fazer um estudo da primeira e da segunda derivada.

Seja , temos que o mínimo de ocorre quando:

Se:

Vamos então avaliar as derivadas. Temos que:

Portanto, podemos então dizer que atinge seu mínimo em e , logo:

Da primeira equação, podemos inferir que , substituindo na segunda equação, temos:

Logo: