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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.5 - Ex. 6

Seja V um espaço vetorial de dimensão finita. Sejam u e v dois vetores desse espaço com a seguinte propriedade: ∀ F ∈ V * F u = 0 ⟹ F v = 0 . Mostrar que u , v é LD.

Sugestão: Se fossem LI, existiria uma base B de V contendo u e v . Considerar a base dual.

Passo 1

Bom, vejam só, toda questão que tem uma sugestão/dica, muito provavelmente será resolvida com esta sugestão/dica. Qual é a nossa conclusão disto para esta questão? Vamos ter que trabalhar com o conceito de base dual.

A teoria de base dual nos diz o seguinte. Seja B = u 1 , … , u n uma base de U e as aplicações F 1 , … , F n que associam a cada u = x 1 u 1 + … + x n u n os elementos x 1 , . . , x n , respectivamente,

Continuando, podemos pegar as aplicações F 1 , … , F n e formar uma base (a famosa base dual).

Resumindo a teoria e aplicando a nossa questão, se u , v for uma base (basta que seja de um subespaço de V ), então F u , F v também é.

Passo 2

Então vamos lá. Vamos assumir que u , v é LI (e assim pode ser base de um subespaço de V ). Se isto ocorrer, F u , F v também é LI (também é base).

Só que, F u = 0 = F v . Como temos vetores nulos, a nossa lista de vetores não é LI, e consequentemente, não é base.

Desta forma, se F u , F v não forma uma base dual, como u , v pode ser LI? Isto quebraria o teorema!

Portanto, a única opção é que u , v seja LD. Assim, concluímos a nossa questão!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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