Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.5 - Ex. 12

Para que valores de e (reais) as seguintes matrizes de são semelhantes

Passo 1

Essa questão tem tanta letra envolvida que o problema está se tornando de português, e não de álgebra.

Agora, ela tem um fato bem engraçado. A sua resposta chega a se cômica.

Bom, queremos verificar quais valores de e as matrizes dadas são semelhantes. Duas matrizes são ditas semelhantes se, e somente se, existir uma matriz invertível tal que:

Ou simplesmente,

Se fossemos continuar com este caminho, iríamos dizer que , e e assim tentar desenvolver a relação. Mas, na real, não precisamos de nada disso.

Passo 2

Tudo será resolvido a partir de uma propriedade dessas matrizes. Existe uma propriedade de matrizes semelhantes que nos dizem que, se elas são semelhantes, temos:

Então, se nós calcularmos os determinantes de ambas as matrizes, temos:

A única solução para esta equação é se .

Esta é a solução da questão. Não chega a ser cômico? Uma questão que aparenta ser tão complexa possui um solução tão simples!

Resposta

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Determine a , b e c , sabendo que 1 ,1 ,2 E = 2 ,1 ,0 F e que a matriz de mudança da base F para a base E é - 1 0 a 2 1 b 1 0 c

Escreva a matriz de mudança de base E = e → 1 ,e → 2 ,e → 3 para a base F = f → 1 ,f → 2 ,f → 3 e exprima o vetor u → = - 4 f → 1 + f → 2 - f → 3 em função de e → 1 ,e → 2 e e → 3 , sabendo que f → 1

Seja D :P 2→P 2 o operador de derivação D p =p ' ( x ) . Nas partes (a) e (b), encontre a matriz de D em relação à base B={ p 1 ,p 2 ,p 3 } dada.(a) p 1 =1 ,p 2 =x ,p 3 =x 2 (b) p 1 =2 ,p 2 =2 -3 x ,p

Seja B={ v 1 ,v 2 ,v 3 ,v 4 } uma base de um espaço vetorial V . Encontre a matriz em relação a B do operador linear T:V→V definido por: T v 1 = v 2 ,T v 2 = v 3 ,T v 3 =v 4 ,T v 4 =v 1

Prove que se B e B ' forem as bases canônicas de R n e R m , respectivamente, então a matriz de uma transformação linear T:R n→R m em relação às bases B e B ’ será a matriz canônica de T .