Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 15
Seja o espaço das matrizes sobre , e seja o subespaço gerado por
Encontre uma base, e a dimensão de .
Passo 1
Observe, de início que:
Ou seja, os três primeiros vetores são LD, do que a gente tem que o conjunto gerador não é uma base de .
Podemos descartar um desses vetores, descartaremos .
Agora, precisamos analisar:
Fazendo uma combinação linear nula:
Que gera o sistema:
Passo 2
O sistema acima é homogêneo, então ele é no mínimo possível e determinado. Vamos escalonar a matriz dos coeficientes, que é:
Ou seja, esse sistema admite mais de uma solução e ainda podemos expressar dois dos coeficientes em função de apenas um, o que implica que o sistema é LD. Veja:
Passo 3
Voltando à combinação linear nula:
Queremos soluções onde , ou seja:
Disso, podemos descartar o vetor .
Ficamos com . Vamos investigar se existem não todos nulos tais que:
Que gera o sistema:
Da primeira e da quarta equação:
Que implica .
Logo os vetores são LI.
Resposta
Base: ;
Dimensão: 2.