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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.1 - Ex. 4

Seja F ∈ L R 2 dado por F x , y = y , x . Determine F n x , y , sendo n ≥ 1 um número inteiro. Mesmo exercício com G ∈ L R 2 dada por G x , y = x , 0 .

Passo 1

Vamos lá! Esta é uma questão que temos que observar o padrão do que está ocorrendo.

Bom, vejamos só. Quando a questão pede para calcularmos F n x , y e G n x , y , temos que fazer uma composição de operadores.

Então, vamos começar a fazer a composição com os operadores F e vejamos o que acontece. Portanto,

F 2 x , y = F F x , y = F y , x = x , y

F 3 x , y = F F 2 x , y = F x , y = y , x

F 4 x , y = F F 3 x , y = F y , x = x , y

F 5 x , y = F F 4 x , y = F x , y = y , x

Não importa a quantidade de vezes que repetimos, sempre obteremos a mesma coisa. A chave para observarmos o padrão é observar o que acontece quando o expoente é par ou ímpar.

Observaram que é a mesma coisa? Então, o nosso operador F n x , y é:

F n x , y = x , y ,     s e   n   f o r   p a r y , x ,     s e   n   f o r   í m p a r

Passo 2

Agora, temos que repetir o mesmo procedimento para o operador G . Este caso é até mais simples que o do operador F , vejamos só o padrão:

G 2 x , y = G G x , y = G x , 0 = x , 0

G 3 x , y = G G 2 x , y = G x , 0 = x , 0

G 4 x , y = G G 3 x , y = G x , 0 = x , 0

Então, o nosso operador não depende do expoente n . Ele sempre será G n x , y = x , 0 para todo valor de n ≥ 1 .

Resposta

F n x , y = x , y ,     s e   n   f o r   p a r y , x ,     s e   n   f o r   í m p a r

G n x , y = x , 0

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