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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 2.10 - Ex. 28

Consideremos no espaço P 2 = a t 2 + b t + c ; a , b , c ∈ R os vetores p 1 = t 2 - 2 t + 1 , p 2 = t + 2 e p 3 = 2 t 2 - t .

  1. Escrever o vetor p = 5 t 2 - 5 t + 7 como combinação linear de p 1 , p 2 e p 3 .
  2. Escrever o vetor p = 5 t 2 - 5 t + 7 como combinação linear de p 1 e p 2 .
  3. Determinar uma condição para a , b e c de modo que o vetor a t 2 + b t + c seja combinação linear de p 2 e p 3 .
  4. É possível escrever p 1 como combinação linear de p 2 e p 3 ?

Passo 1

Uma boa idéia pra essa questão é que a gente pode associar o vetor a t 2 + b t + c a ( a ,   b ,   c ) , e fazer as contas do jeito que estamos acostumados. Assim, p 1 = ( 1 , - 2,1 ) , p 2 = ( 0 ,   1 ,   2 ) e p 3 = ( 2 ,   - 1 ,   0 ) . Agora bora pra conta!

  1. Vamos escrever p como combinação linear dos outros três vetores:

    2. a p 1 + b p 2 + c p 3 = 5 , - 5 ,   7

    a 1 ,   - 2 ,   1 + b 0 ,   1 ,   2 + c 2 ,   - 1 ,   0 = 5 ,   - 5 ,   7

    O nosso sistema vai ser:

    a + 2 c = 5 - 2 a + b - c = - 5 a + 2 b = 7

    Subtraindo a primeira da última:

    2 b - 2 c = 7 - 5

    b - c = 1

    Substituindo na segunda:

    - 2 a + 1 = - 5

    a = 3

    Voltando na primeira e na última:

    3 + 2 c = 5 → c = 1

    3 + 2 b = 7 → b = 2

    Assim,

    p = 3 p 1 + 2 p 2 + p 3

    Passo 2

  2. Agora a gente tem que escrever p só em função de p 1 e de p 2 . Bora lá!

    3. a p 1 + b p 2 = 5 ,   - 5 ,   7

    a 1 ,   - 2 ,   1 + b 0 ,   1 ,   2 = 5 ,   - 5 ,   7

    a = 5 - 2 a + b = - 5 a + 2 b = 7

    Já temos a . Vamos substituir nas duas e ver se são compatíveis!

    - 2 5 + b = - 5 → b = 5

    5 + 2 b = 7 → b = 1

    Ih, rapaz, apareceram dois valores diferentes pra b , então esse sistema impossível. Por isso, é impossível fazer essa combinação linear.

    Passo 3

  3. Agora vamos pegar um vetor genérico e obrigar que ele seja combinação linear de p 2 e p 3 .

    4. m p 2 + n p 3 = a ,   b ,   c

    m 0 ,   1 ,   2 + n 2 ,   - 1 ,   0 = a ,   b ,   c

    2 n = a m - n = b 2 m = c

    Daqui, n = a 2 e m = c 2 . Vamos substituir na segunda equação:

    c 2 - a 2 = b

    a + 2 b - c = 0

    Passo 4

  4. Pra escrevermos p 1 em função de p 2 e p 3 , é só a gente ver se p 1 atende à equação da letra (c), sacou? Porque ali botamos um vetor genérico, e se vale pra qualquer um, vale pra p 1 , se for possível escrever ele em função deles.

p 1 = 1 ,   - 2 ,   1

Aqui, a = 1 , b = - 2 e c = 1 .

a + 2 b - c = 1 + 2 - 2 - 1 = - 4 ≠ 0

Como não serviu na equação, então não é possível escrever p 1 em função de p 2 e p 3 .

Resposta

  1. p = 3 p 1 + 2 p 2 + p 3
  2. Impossível
  3. a + 2 b - c = 0
  4. Impossível
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2 Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços vetoriais de Mnn.O conjunto de todas as matrizes A de tamanho n x n tais que AT=-A.
Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços de P3.c) Todos os polinômios a0+a1x+a2x2+a3x3 em que a0, a1, a2 são inteiros.
1 Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços vetoriais de Mnn.O conjunto de todas as matrizes A de tamanho nxn tais de tr(A)=0.
Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços de P3.d) Todos os polinômios a0+a1x em que a0 e a1 são números reais.
Quais dos seguintes são subespaços de R?.d) Todas as sequencias v em R cujos componentes são nulos a partir de algum ponto.