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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 4.2 - Ex. 3

Consideremos o espaço vetorial C sobre R e seja F : C → C tal que F z = z - ,   ∀   z ∈ C . Mostre que F é um operador linear. Se tivessemos considerado o espaço vetorial C sobre C seria F ainda um operador linear?

Passo 1

Falaa.. beleza??? Essa questão parece complicadinha, heim... mas vamos fazendo aos poucos que no final dá certo.

Pra gente mostrar que um operador linear a gente precisa mostrar duas coisas:

- que vale a adição:

F u + v = F u + F v

- e que vale a multiplicação por escalar:

F k u = k F u

Maaasss repara que o nosso espaço vetorial é dos números complexos.

Então a transformação vai ser “só” colocar a barra em cima do z, então lembra que essa barra é só a gente trocar o sinal antes do número que tem o izinho:

z = x + y i

z - = x - y i

Passo 2

Vamos, lá, então:

Sendo:

u = a + b i

v = c + d i

Com a , b , c   e d ∈ R (isso aqui é importante porque é um espaço vetorial complexo sobre os reais, beleza?)

Somando:

u + v = a + b i + c + d i

u + v = a + c + b + d i

Aplicando a transformação na soma:

F u + v = a + c - b + d i

= a - b i + c - d i

= F u + F v

F u + v = F u + F v

Até aqui ok, né?

Mas falta aplicar a transformação na multiplicação por escalar:

F k u = F k a + b i

= F k a + k b i

= k a - b i

= k F u

F k u = k u

Assim fica mostrado que F é um operador linear, considerando o espaço vetorial C sobre R .

Passo 3

Maaaaasss e se formos considerar o espaço vetoria C sobre C sabe o que mudaria???

Ta ligado nas partes que falei que era importante falar que as letras eram números reais??? Então, dessa vez elas serão números complexos... (MISERICÓRDIA, né ahhaha)

Passo 4

Então bora lá...

Sendo:

u = a + b i

v = c + d i

Mas aqui a gente fala assim: com a + b i , c + d i ∈ C .

Aplicando a transformação na soma:

F u + v = a + c - b + d i

= a - b i + c - d i

= F u + F v

F u + v = F u + F v

Até aqui foi igual...

Agora que muda... porque o “escalar” pra multiplicação vai ser um número complexo também, então:

k = e + f i

Aplicando a a transformação na multiplicação por escalar:

F k u = F e + f i a + b i

= F a e + b e i + a f i - b f

= F a e - b f + b e + a f i

= a e - b f - b e + a f i

= a e - b f - b e i + a f i

Nossa... isso vai ficar bem complicado de mostrar que é k F u , se for, né??

Vamos calcular, então:

k F u = e + f i a - b i

= e a - b e i + a f i + b f

= a e + b f - b e i + a f i

Oh..... por um sinalzinho de mais não deu certo, então:

F k u ≠ k F u

Então, se considerarmos o espeço vetorial C sobre C , F não é um operador linear.

Resposta

Se considerarmos o espeço vetorial C sobre C , F não é um operador linear.

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