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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 4.2 - Ex. 1a

Quais das seguintes aplicações de R 3 em R 3 são operadores lineares?

F 1 x , y , z = x - y , x + y , 0

Passo 1

Definição: Sejam U e V espaços vetoriais sobre R . Uma aplicação F : U → V é chamada transformação linear de U em V se, e somente se,

F u + v = F u + F ( v )

E

F α u = α F ( u )

E é isso que queremos verificar nesse problema.

Passo 2

Tome os vetores de R 3 dados por u = ( x 1 , y 1 , z 1 ) e v = x 2 y 2 z 2 .

Assim vamos verificar a primeira condição

F u + v = F ( x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2 )

= x 1 + x 2 - y 1 + y 2 , x 1 + x 2 + y 1 + y 2 , 0

= x 1 - y 1 + x 2 - y 2 , x 1 + y 1 + x 2 + y 2 , 0

E finalmente separando os vetores

= x 1 - y 1 , x 1 + y 1 , 0 + ( x 2 - y 2 , x 2 + y 2 , 0 )

Que são nossas aplicações em u e v , ou seja

= F u + F ( v )

Passo 3

Uma vez verificado a primeira condição, vamos para segunda

F α u = F α x , y , z = F ( α x , α y , α z )

E aplicamos nosso operador, temos

= ( α x - α y , α x + α y , 0 )

= α x - y , α x + y , 0

= α x - y , x + y , 0

E assim,

= α F u

Logo temos que se as duas condições são validas, então nossa operador é dito linear.

Resposta

É linear

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