Quais dos seguintes operadores são ortogonais?

T : R^2 -> R^2 , T (x , y) = (- y , - x)

Passo 1

A questão pede para verificarmos se o operador dado é ortogonal ou não. Para isso, lembre-se que um operador é ortogonal se a inversa da sua transformação for igual a transposta. Portanto, o primeiro passo é achar a matriz de transformação.

Usando a base canônica:

T (1 , 0) = (0 , - 1)

T (0 , 1) = (- 1 , 0)

Assim,

[T] = [[[0,-,1],[-,1,0]]]

Passo 2

Para inverter a matriz, vamos usar o macete das matrizes 2 xx 2 :

([[[a,b],[c,d]]])^(- 1) = (1)/(a d - b c) [[[d,-,b],[-,c,a]]]

Assim,

[T]^(- 1) = [[[0,-,1],[-,1,0]]]

Passo 3

Para achar a transposta, basta trocar linha com coluna:

[T]^t = [[[0,-,1],[-,1,0]]]

Vemos que [T]^(- 1) = [T]^t , de modo que T é ortogonal!

Resposta

Sim

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados