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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 5.7 - Ex. 17a

Em relação aos operadores dados, determinar a matriz de T na base A e, a seguir, utilizar a relação entre matrizes semelhantes para calcular a matriz de T na base B .

T :   R 2 → R 2 ,       T x , y = ( x + 2 y , - x + y )

A = - 1 ,   1 ,   1 ,   2         e         B = { 1 , - 3 ,   0 ,   2 }

Passo 1

A questão fornece uma transformação linear e pede para encontrarmos as matrizes de transformação nas bases A e B .

Vamos fazer primeiro na base A . Para isso, precisamos calcular a transformação sobre os vetores dessa base:

T - 1 ,   1 = ( 1 ,   2 )

T 1 ,   2 = ( 5 ,   1 )

Agora precisamos escrever esses vetores na base A :

1 ,   2 = a - 1 ,   1 + b 1 ,   2 = ( - a + b , a + 2 b )

Logo,

- a + b = 1 a + 2 b = 2

Temos que b = 1 e a = 0 . Assim,

T - 1 ,   1 = 0 ,   1 A

Analogamente,

5 ,   1 = a - 1 ,   1 + b 1 ,   2 = ( - a + b , a + 2 b )

Logo,

- a + b = 5 a + 2 b = 1

Portanto, b = 2 e a = - 3 :

T 1 ,   2 = - 3 ,   2 A

Assim, nas base A , temos que

T A = 0 - 3 1 2

Passo 2

Para achar T B , vamos usar a relação entre matrizes semelhantes:

T B = M - 1   T A   M ,

Onde M = I A B é a matriz de mudança de base de B para A . Para construir essa matriz, temos que escrever os vetores de B na base A :

1 ,   - 3 = a - 1 ,   1 + b 1 ,   2 = ( - a + b , a + 2 b )

Logo,

- a + b = 1 a + 2 b = - 3

Portanto, b = - 2 / 3 e a = - 5 / 3 . Desta forma,

1 ,   - 3 = - 5 3 , - 2 3 A

Analogamente,

0 ,   2 = a - 1 ,   1 + b 1 ,   2 = ( - a + b , a + 2 b )

Logo,

- a + b = 0 a + 2 b = 2

Assim, b = 2 / 3 e a = 2 / 3 . Portanto,

0 ,   2 = 2 3 ,   2 3 A

Portanto,

M = I A B = - 5 3 2 3 - 2 3 2 3

Para inverter essa matriz, lembre-se do macete para matrizes 2 × 2 :

a b c d - 1 = 1 a d - b c d - b - c a

Assim,

M - 1 = 1 - 10 9 + 4 9 2 3 - 2 3 2 3 - 5 3 = - 1 1 - 1 5 2

Passo 3

Com isso, podemos finalmente fazer

T B = M - 1   T A   M = - 1 1 - 1 5 2 ⋅ 0 - 3 1 2 ⋅ - 5 3 2 3 - 2 3 2 3

Assim,

T B = 1 6 - 2 2 - 2 5 ⋅ 0 - 3 1 2 ⋅ - 5 2 - 2 2

Logo,

T B = 1 6 - 2 2 - 2 5 ⋅ 6 - 6 - 9 6 = 1 2 - 2 2 - 2 5 ⋅ 2 - 2 - 3 2

Portanto,

T B = 1 2 - 10 8 - 19 14

Desta forma,

T B = - 5 4 - 19 2 7

Resposta

T A = 0 - 3 1 2

T B = - 5 4 - 19 2 7

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Verificar quais das seguintes matrizes são ortogonais e, dentre estas, determinar as que representam rotações: 1 10 3 10 - 3 10 1 10
Construir uma matriz ortogonal cuja primeira coluna seja 1 3 ,- 2 3 ,- 2 3
Mostrar que se A e B são matrizes ortogonais, então A B também será ortogonal.
Mostrar, por meio da multiplicação de matrizes, que uma rotação de 30 ° seguida de uma rotação de 60 ° resulta em uma rotação de 90 ° .
Verificar quais das seguintes matrizes são ortogonais e, dentre estas, determinar as que representam rotações: 1 3 2 3 2 3 2 3 - 2 3 1 3 2 3 1 3 - 2 3