Seja θ = a n g ( r ,   s ) . Calcule s e n   θ nos casos (a) e (b) e cos ⁡ θ nos casos (c) e (d):

a) r : X = - 5 2 ,   2 ,   0 + λ 1 2 ,   1 ,   1                         s : z = 3 x = 2 y - 16

Passo 1

Sabemos que

cos ⁡ θ = r → . s → r → . s →

Opa, mas nesse caso nós queremos s e n   θ , então vamos usar a relação trigonométrica

s e n 2 θ + c o s 2 θ = 1

s e n 2 θ = 1 - c o s 2 θ

s e n θ = 1 - c o s 2 θ

Substituindo a expressão de cos ⁡ θ :

s e n θ = 1 - r → . s → r → . s → 2

Agora é só substituirmos nossas informações ali hehe

Passo 2

Pela equação de r , um vetor diretor dela é r → = 1 2 ,   1 ,   1 .

Já em s , temos s → = 1 , 3 2 ,   3 .

Substituindo na nossa fórmula:

s e n θ = 1 - r → . s → r → . s → 2

s e n θ = 1 - 1 2 ,   1 ,   1 . 1 , 3 2 ,   3 1 2 ,   1 ,   1 . 1 , 3 2 ,   3 2

s e n θ = 1 - 1 2 ,   1 ,   1 . 1 , 3 2 ,   3 1 2 ,   1 ,   1 . 1 , 3 2 ,   3 2

Agora é só fazer as contas!

Passo 3

Vamos lá:

s e n θ = 1 - 1 2 ,   1 ,   1 . 1 , 3 2 ,   3 1 2 ,   1 ,   1 . 1 , 3 2 ,   3 2

Primeiro, vamos fazer esse produto escalar:

1 2 ,   1 ,   1 . 1 , 3 2 ,   3 = 1 2 + 3 2 + 3 = 5

E sabemos que 5 = 5 . Beleza! No denominador, temos que tirar os módulos de cada vetor:

1 2 ,   1 ,   1 = 1 2 2 + 1 2 + 1 2 = 9 4 = 3 2

E:

1 , 3 2 ,   3 = 1 2 + 3 2 2 + 3 2 = 4 9 4 = 7 2

Então, substituindo, ficamos com:

s e n θ = 1 - 5 3 2 ∙ 7 2 2

s e n θ = 1 - 5 21 4 2 = 1 - 20 21 2

s e n θ = 1 - 400 441 = 4 1 441

s e n θ ≈ 0,305

Resposta

s e n θ ≈ 0,305

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