1. Prove que uma reta paralela ao eixo de uma parábola tem com ela um único ponto comum
  2. Prove que, se P pertence a região focal da parábola P , então qualquer reta que contém P e não é paralela ao eixo da parábola é secante a P .

Passo 1

Em uma parábola y 2 = 4 p x nós temos que o eixo dessa parábola é o próprio eixo x então para uma reta paralela ao eixo x nós teremos a seguinte figura.

Todas essas retas paralelas cortam a parábola em apenas um ponto, tal como uma equação genérica igual a:

X = h , k + λ ( 1,0 )

Onde eu digo um ponto qualquer ( h , k ) e um tamanho λ qualquer e depois digo que esse vetor é paralelo ao eixo x , ou seja ele tem direção ( 1,0 ) . Isso me dará a equação genérica de todas as retas paralelas ao eixo x , que é o eixo dessa parábola.

Passo 2

  1. Sejam P : y 2 = 4 p x e P = ( h , k ) , em relação a um conveniente sistema ortogonal de coordenadas. Como P pertence a região focal, k 2 < 4 p h ; utilize [ 22 - 23 ] para provar que Δ > 0 , qualquer que seja o vetor ( m , n ) tal que n ≠ 0

Como dissemos no passo anterior a equação dessa parábola é algo como y 2 = 4 p x e P é um ponto com coordenadas iguais a ( h , k ) e a equação do determinante dessa parábola é dado por:

n 2 λ 2 + 2 k n - 2 p m λ + k 2 - 4 p h = 0

Δ = 4 k n - 2 p m 2 - n 2 k 2 - 4 p h

E por estar na região focal então | y p a r a b o l a | > | y P | , onde o y de qualquer ponto da parábola em x = h , ou seja

k 2 < 4 p h

Tal como foi provado na questão 51, então o termo n 2 k 2 - 4 p h é negativo o que anula com o sinal e nos dá Δ > 0 , logo se n não for zero (que daria os vetores paralelos ao eixo x , e não nos daria uma equação do segundo grau para λ ) nós teremos com certeza uma secante.

Resposta

a )   P a s s o   1

b )   P a s s o   2

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