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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 25.Problemas - Ex. 9

Se A = (1, 2, 3), B = (3, −1, 4), C = (2, 3, −1) e D = (3, 1, 3), mostre que as retas AB e CD são reversas

Passo 1

Primeiro vamos encontrar as paramétricas de AB e descobrir a equação da reta.

x = 1 + t

y = 2 - 3 t

z = 3 + t

A B = 1,2 , 3 + t 1 , - 3,1

Agora a paramétrica CD,

x = 2 + s

y = 3 - 2 s

z = - 1 + 4 s

C D = 2,3 , - 1 + s ( 1 , - 2,4 )

Passo 2

Para sabermos se as retas são reversas, verificamos se os vetores diretores de cada reta e o vetor de dois pontos arbitrários de cada reta não são coplanares, isto é, se o produto misto entre eles é diferente de 0. Vamos escrever de forma algébrica para ficar mais claro.

Tomando os pontos: P A B = 2 , - 1,4 e P C D = 3,1 , 3 → P A B P C D = P C D - P A B = ( 1,2 , - 1 ) ;

E os vetores diretores: v A B = 1 , - 3,1 e v C D = ( 1 , - 2,4 ) .

v A B ⋅ v C D × P A B P C D = det ⁡ 1 - 3 1 1 - 2 4 1 2 - 1 = - 17 ≠ 0

Portanto, nossas retas são reversas.

Resposta

Demonstração.

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Encontrar equações paramétricas da reta que passa por A e éé, simultaneamente, ortogonal às retas r 1 e r 2 , nos casos: b )A 0,0 , 0 ,r 1 : x 2 = y 1 = z - 3 2 e r 2 : x = 3 t y = - t + 1 z = 2
Determinar, caso exista, o ponto e interseção das retas r 1er 2 :e) r 1 = x = 2 + t y = 4 - t z = - t e r 2 = y = 6 - x z = 2 - x
Determinar, caso exista, o ponto e interseção das retas r 1er 2 :e) r 1 : x , y , z = 2,4 , 1 + t 1 , - 2,3 r 2 : x , y , z = - 1,2 , 5 + t ( 4,3 , - 2 )
Determinar, caso exista, o ponto e interseção das retas r 1er 2 :d) r 1 = x = 2 - t y = 3 - 5 t z = 6 - 6 t e r 2 = x = - 3 + 6 h y = 1 + 7 h z = - 1 + 13 h
Calcular o valor de m para que sejam concorrentes as seguintes retas:a) r 1 = y = 2 x - 5 z = - x + 2 e r 2 = x - 5 = y m = z + 1