Se A = (1, 2, 3), B = (3, −1, 4), C = (2, 3, −1) e D = (3, 1, 3), mostre que as retas AB e CD são reversas

Passo 1

Primeiro vamos encontrar as paramétricas de AB e descobrir a equação da reta.

x = 1 + t

y = 2 - 3 t

z = 3 + t

A B = 1,2 , 3 + t 1 , - 3,1

Agora a paramétrica CD,

x = 2 + s

y = 3 - 2 s

z = - 1 + 4 s

C D = 2,3 , - 1 + s ( 1 , - 2,4 )

Passo 2

Para sabermos se as retas são reversas, verificamos se os vetores diretores de cada reta e o vetor de dois pontos arbitrários de cada reta não são coplanares, isto é, se o produto misto entre eles é diferente de 0. Vamos escrever de forma algébrica para ficar mais claro.

Tomando os pontos: P A B = 2 , - 1,4 e P C D = 3,1 , 3 → P A B P C D = P C D - P A B = ( 1,2 , - 1 ) ;

E os vetores diretores: v A B = 1 , - 3,1 e v C D = ( 1 , - 2,4 ) .

v A B ⋅ v C D × P A B P C D = det ⁡ 1 - 3 1 1 - 2 4 1 2 - 1 = - 17 ≠ 0

Portanto, nossas retas são reversas.

Resposta

Demonstração.

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