Sejam A = (0, 1, 0), B = (1, 0, 1), C = (1, 1, 0) e D = (0, 0, 1). Mostre que as retas AB e CD têm um ponto em comum, o qual pertence também à reta EF, onde E = (1, 0, 0) e F = (0, 1, 1). Interprete este resultado geometricamente.

Passo 1

Vamos encontrar os pontos que definem as paramétricas através das equações dadas no capítulo.

Dado dois pontos A = ( a ,   b ,   c ) e A ' = ( a ' ,   b ' ,   c ' ) , então

x = a + t a ' - a

y = b + t ( b ' - b )

z = c + t c ' - c

Vamos encontrar as equações paramétricas de cada reta:

Para a reta AB:

x = t ,   y = 1 ,   z = t ,         t   ∈   R

Para a reta CD:

x = 1 ,   y = 1 , z = t ,           t   ∈   R

Para a reta EF:

x = 1 ,   y = t , z = 1 ,           t   ∈   R

Se t for 1, as três retas se cruzam no ponto médio das retas, dessa forma, elas possuem o ponto (1/2,1/2,1/2) em comum.

Resposta

Demonstração

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