Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.1 - Ex. 38
Dado um número inteiro positivo qualquer, seja a transformação linear definida por em que é uma matriz de entradas reais. Determine a dimensão de .
Passo 1
Fala ai galerinha bonita, tudo beleza?
Saca só, nesse exercício aqui o enunciado nos deu uma transformação que representa o traço de uma matriz qualquer, ou seja, dada uma matriz , teremos que:
Onde o traço de uma matriz representa a soma dos elementos da diagonal principal:
Isso quer dizer que a transformação pega uma matriz e leva ela em um número real finito que é o traço da matriz, por isso temos que , onde o contradomínio é toda a reta real.
E sabendo disso, o enunciado quer que a gente encontre a dimensão do .
Passo 2
Belezoca, a primeira coisa que a gente deve lembrar é do teorema fundamental do núcleo e imagem, dado como:
Onde é a dimensão do domínio da transformação. Como nossa transformação é dada como , temos que o domínio será o espaço das matrizes enquanto que o contradomínio será a reta real .
Belezoca, agora como a imagem está contida no contradomínio, ou seja, a imagem está contida em , e já que esse espaço é uma reta de dimensão , então a dimensão da imagem será:
Então já temos que:
Isolando a dimensão do núcleo:
Agora falta a gente encontrar a dimensão do domínio dessa função, bora lá então.
Passo 3
Show de bolinhas pessoal temos que o domínio da função é o espaço de todas as matrizes com entradas reais, do tipo:
Onde os elementos da matriz podem ou não ser diferentes um do outro, ou seja, eles são independentes entre si.
Isso quer dizer que pra gerar esse espaço , vamos precisar de uma dimensão pra cada coordenada da matriz:
Logo, será o número de elementos na base de , e já que temos um elemento na base pra cada coordenada, e temos coordenadas, de modo que vamos obter:
Sendo assim:
Portanto a dimensão do núcleo da transformação é dada como: