Obtenha equações da circunferência de centro que contém os pontos e , nos casos:

1. , ,
2. , ,
3. , ,

Para obtermos a equação de uma circunferência, precisamos da equação de uma superfície esférica e de um plano.

Vamos começar pela superfície esférica. Iremos centrar ela no próprio ponto e usar como raio o próprio raio da circunferência. Portanto,

Desta forma, temos a seguinte circunferência:

Agora, vamos construir um plano para finalizarmos a obtenção da circunferência.

Para construirmos o plano, precisamos de dois vetores diretores. Eles serão . Calculando-os, temos:

Eita!!! Os dois vetores são paralelos ! Isto significa que os três pontos são colineares.

Então, não conseguimos compor um único plano para esta questão. A única coisa que podemos, e devemos fazer, é obter um feixe de planos que contém a reta , que contém estes três pontos , e . Portanto, possui vetor diretor

Vamos obter dois planos distintos que contém esta reta. Primeiro, vamos obter o vetor normal do plano. Como o plano contém a reta, sabemos:

Bom, agora, vamos escolher números aleatórios de e para obter dois vetores normais distintos (não podem ser paralelos). Escolhendo aleatoriamente, temos:

Como ambos os planos contêm o ponto , vamos substituir as coordenadas destes pontos em cada um dos planos para obter o valor do . Logo, começando por , temos:

Já para , temos:

Portanto, a reta será dada por:

Todo este procedimento que fizemos foi para obter um feixe de planos que contém . Se multiplicarmos a primeira linha por e somarmos com o produto da segunda linha por , teremos o seguinte feixe de planos:

Portanto, a circunferência será dada pela interseção do feixe de planos com a superfície esférica obtida anteriormente. Sendo assim,