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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 36.Problemas - Ex. 1b

Dado um sistema 3X3 com determinante ≠ 0 , calcule o número de multiplicações e divisões necessários para resolvê-lo .

b-Pela Regra de Cramer, calculando os determinantes mediante a expansão segundo uma linha ou uma coluna.

Passo 1

Fala galerinha , vamos resolver mais uma questão do nosso livro de Geometria analítica e Álgebra Linear !!!

Vamos começar propondo o seguinte sistema de equações, o qual, realizado uma expansão nas linhas em um termo genérico,

a 1 x + b 1 y + c 1 z   + … + n 1 C n     = d 1 a 2 x + b 2 y + c 2 z + … + n 2 C n       = d 2 a 3 x + b 3 y +   c 3 z + … + n 3 C n     = d 3

E lembram da definição da regra de Cramer para encontrar os determinantes,

x = D x D

y = D y D

z = D z D

n = D n D

E as matrizes 3 x n podem ser definidos como,

D = a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3     … … …       n 1 n 2 n 3

D x = d 1 b 1 c 1 d 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3     … … …       n 1 n 2 n 3

D y = a 1 d 1 c 1 a 2 d 2 c 2 a 3 d 3 c 3       … … …       n 1 n 2 n 3

D z = a 1 b 1 d 1 a 2 b 2 d 2 a 3 b 3 d 3     …   … …       n 1 n 2 n 3

D n = a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3     … … …       d 1 d 2 d 3

Passo 2

Agora vamos encontrar a relação dos determinantes pelas seguintes equações, x = D x D ,   y = D y D , z = D z D

Assim, temos

x = D x D = d 1 b 1 c 1 d 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3     … … …       n 1 n 2 n 3 a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3     … … …       n 1 n 2 n 3

y = D y D = a 1 d 1 c 1 a 2 d 2 c 2 a 3 d 3 c 3       … … …       n 1 n 2 n 3 a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3     … … …       n 1 n 2 n 3

z = D z D =   a 1 b 1 d 1 a 2 b 2 d 2 a 3 b 3 d 3     …   … …       n 1 n 2 n 3 a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3     … … …       n 1 n 2 n 3

n = D n D =   a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3     … … …       d 1 d 2 d 3 a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3     … … …       n 1 n 2 n 3

Resposta

Então, podemos concluir e encontrar os valores dos determinantes de uma matriz 3x n a partir da definição de Cramer,

x = D x D ,   y = D y D   , z = D z D , … … . , n = D n D  

Espero que ajudem nos estudos, até próxima

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