Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 7.3 - Ex. 4
Compare e .
Passo 1
Vamos lá! Temos uma questão que pede para compararmos dois determinantes. É de se esperar que o segundo determinante (o bem grande), vai possui alguma relação com .
Cabe a nós descobrirmos que relação é esta. E para isto, nós vamos precisas trabalhar bastante com as propriedades dos determinantes. Em especial, trabalharemos com duas propriedades.
A primeira e mais importante é a linearidade em cada uma das variáveis. Isto nos vai permitir dizer que:
Vejam que separamos a segunda matriz . Mas vejam só, a gente pode continuar separando uma série de variáveis e a nossa relação irá ficar cada vez maior.
Então, é nesse momento que aplicamos a segunda propriedade. Quando tivermos dois termos iguais (duas linhas iguais), o determinante será igual a 0. Percebam só o que apareceu ao separarmos o nosso determinante:
No primeiro termo não aparece o termo (sozinho) duas vezes? Então, temos duas matrizes que se repetem. Portanto,
E assim podemos escrever:
Passo 2
Agora, só nos resta continuar aplicando ambas propriedades discutidas no Passo 1 até entendermos o padrão de repetição do nosso determinante. Sendo assim, temos:
Como repete duas vezes a matriz . Então, ela é igual a 0. Logo,
Conseguem ver que só vai sobrando a sequência ? Pois é, este é o padrão. Com isto, podemos escrever que:
Então, ambos os determinantes que a questão nos pede para comparar possuem exatamente o mesmo valor!
Resposta
Ambos os determinantes possuem o mesmo valor.