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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 7.3 - Ex. 9

Provar que det (A) = 0 sendo

A = ([[1,cos a,c,o,s,,2,a],[cos a,cos 2 a,cos 3 a],[cos 2 a,cos 3 a,cos 4 a]])

Passo 1

Uma questão para provar! Difícil? Pode ser. Vantajosa? Com certeza! Tem vantagem melhor do que já sabermos a resposta?

Nosso trabalho é apenas chegar em algo que já sabemos! Mas claro, não vale utilizar algum artifício errado. Temos que jogar utilizando as regras do jogo.

Então, a grande dificuldade da questão será trabalhar com todas estas funções trigonométricas. Vamos ter que utilizar algumas relações de soma de arcos. É isto o que vai deixar a gente confuso.

Mas vamos fazer com calma, um passo a cada vez!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz conforme o método que aprendemos anteriormente. Ele será:

det (A) = a_11 a_22 a_33 + a_12 a_23 a_31 + a_13 a_21 a_32 - a_11 a_23 a_32 - a_13 a_22 a_31 - a_12 a_21 a_33

det (A) = cos 2 a cos 4 a + cos a cos 3 a cos 2 a + cos 2 a cos a cos 3 a - cos 3 a cos 3 a - cos 2 a cos 2 a cos 2 a - cos a cos a cos 4 a

det (A) = cos 2 a cos 4 a + 2 cos a cos 2 a cos 3 a - cos^2 3 a - cos^3 2 a - cos^2 a cos 4 a

Por enquanto, não podemos eliminar nenhum termo. Temos que fazer algumas mudanças para começar a eliminar alguns termos. A ideia será transformar esses arcos 2 a , 3 a e 4 a em apenas a .

As contas serão bem grandes, mas não se assustem não!

Passo 3

Para isto, começaremos transformando cos 2 a . Escrevendo-o em função de cos a , temos:

cos 2 a = cos^2 a - sen^2 a

cos 2 a = cos^2 a - (1 - cos^2 a)

cos 2 a = 2 cos^2 a - 1

Realizando esta mudança, temos:

det (A) = cos 2 a cos 4 a + 2 cos a cos 2 a cos 3 a - cos^2 3 a - cos^3 2 a - cos^2 a cos 4 a

det (A) = (2 cos^2 a - 1) cos 4 a + 2 cos a (2 cos^2 a - 1) cos 3 a - cos^2 3 a - (2 cos^2 a - 1)^3 - cos^2 a cos 4 a

det (A) = 2 cos^2 a cos 4 a - cos 4 a + 4 cos^3 a cos 3 a - 2 cos a cos 3 a - cos^2 3 a - (2 cos^2 a - 1)^3 - cos^2 a cos 4 a

det (A) = cos^2 a cos 4 a - cos 4 a + (4 cos^3 a - 2 cos a - cos 3 a) cos 3 a - (2 cos^2 a - 1)^3

E paramos esta nossa operação por aqui.

Passo 4

Agora, vamos transformar cos 3 a . Para arco triplo, temos a seguinte relação:

cos 3 a = 4 cos^3 a - 3 cos a

Substituindo esta relação no nosso determinante, temos:

det (A) = cos^2 a cos 4 a - cos 4 a + (4 cos^3 a - 2 cos a - cos 3 a) cos 3 a - (2 cos^2 a - 1)^3

det (A) = cos^2 a cos 4 a - cos 4 a + (4 cos^3 a - 2 cos a - 4 cos^3 a + 3 cos a) (4 cos^3 a - 3 cos a) - (2 cos^2 a - 1)^3

det (A) = cos^2 a cos 4 a - cos 4 a + (cos a) (4 cos^3 a - 3 cos a) - (2 cos^2 a - 1)^3

det (A) = cos^2 a cos 4 a - cos 4 a + 4 cos^4 a - 3 cos^2 a - (2 cos^2 a - 1)^3

det (A) = (cos^2 a - 1) cos 4 a + 4 cos^4 a - 3 cos^2 a - (2 cos^2 a - 1)^3

E vamos parar por aqui esta nossa operação.

Passo 5

A última mudança que temos que fazer é transformar o cos 4 a em uma função de cos a . Para isto, vamos utilizar as relações desenvolvidas para cos 2 a . Logo,

cos 4 a = 2 cos^2 2 a - 1

cos 4 a = 2 (cos 2 a)^2 - 1

cos 4 a = 2 (2 cos^2 a - 1)^2 - 1

cos 4 a = 2 (4 cos^4 a - 4 cos^2 a + 1) - 1

cos 4 a = 8 cos^4 a - 8 cos^2 a + 1

Substituindo esta relação no nosso determinante, temos:

det (A) = (cos^2 a - 1) cos 4 a + 4 cos^4 a - 3 cos^2 a - (2 cos^2 a - 1)^3

det (A) = (cos^2 a - 1) (8 cos^4 a - 8 cos^2 a + 1) + 4 cos^4 a - 3 cos^2 a - (2 cos^2 a - 1)^3

det (A) = 8 cos^6 a - 8 cos^4 a + cos^2 a - 8 cos^4 a + 8 cos^2 a - 1 + 4 cos^4 a - 3 cos^2 a - (2 cos^2 a - 1)^3

det (A) = 8 cos^6 a - 12 cos^4 a + 6 cos^2 a - 1 - (2 cos^2 a - 1)^3

Passo 6

Para finalizarmos, basta desenvolvermos o termo (2 cos^2 a - 1)^3 que viemos guardando desde o início do nosso desenvolvimento. Então, seja ele dado por:

(2 cos^2 a - 1)^3 = (2 cos^2 a - 1) (2 cos^2 a - 1)^2

(2 cos^2 a - 1)^3 = (2 cos^2 a - 1) (4 cos^4 a - 4 cos^2 a + 1)

(2 cos^2 a - 1)^3 = 8 cos^6 a - 8 cos^4 a + 2 cos^2 a - 4 cos^4 a + 4 cos^2 a - 1

(2 cos^2 a - 1)^3 = 8 cos^6 a - 12 cos^4 a + 6 cos^2 a - 1

Substituindo esta relação no nosso determinante, temos:

det (A) = 8 cos^6 a - 12 cos^4 a + 6 cos^2 a - 1 - (2 cos^2 a - 1)^3

det (A) = 8 cos^6 a - 12 cos^4 a + 6 cos^2 a - 1 - (8 cos^6 a - 12 cos^4 a + 6 cos^2 a - 1)

det (A) = 0

E assim, finalmente conseguimos provar o que a questão nos pediu!!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

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Seja A = a i j 3 × 3 tal que d e t ⁡ ( A ) = 3 . Calcule o determinante das matrizes a seguir:a) a 11 + a 1 2 a 11 - a 12 a 13 a 21 + a 22 a 2 1 - a 22 a 23 a 31 + a 32 a 3 1 - a 32 a 33
Calcule o determinante das matrizes a seguir:a)[[[e^(r t),t,e^(r t)],[r,e^(r t),(,1,+,r,t,),e^(r t)]]]
Seja A = a i j 3 × 3 tal que d e t ⁡ ( A ) = 3 . Calcule o determinante das matrizes a seguir:a) a 11 a 12 a 13 + a 12 a 21 a 22 a 23 + a 22 a 31 a 32 a 33 + a 32
Se det ⁡ A =- 3 , encontre:a) det ⁡ A 2 b) det ⁡ A 3 c) det ⁡ A - 1 d) det ⁡ A t
Determine todos os valores de λ para os quais det ⁡ A - λ I n = 0 , em que (a) A =0 1 2 0 0 3 0 0 0