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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 2.2 - Ex. 12

O determinante de AB e igual ao determinante de BA? Justifique

Passo 1

Fala aeeee! Tudo tranquilo?

Para responder essa questão vamos ter que dar uma revisada nas propriedades dos determinantes.

A propriedade determinante do produto diz, por mais incrível que pareça, que o det(AB) = det(BA). Ou seja,

det ⁡ A B = det ⁡ A . d e t B = d e t ⁡ ( B A )

Vamos analisar um exemplo:

A =   1 2 1 3 ,   B =   1 1 2 4

Multiplicando:

A . B =   1 2 1 3 . 1 1 2 4 =   5 9 7 13

B . A = 1 1 2 4 . 1 2 1 3 =   2 5 6 16

Calculando o determinante de cada matriz:

det ⁡ A = 1.3 - 1.2 = 1

det ⁡ B = 1.4 - 2.1 = 2

det ⁡ A . B = 5.13 - 7.9 = 65 - 63 = 2

d e t B . A = 2.16 - 6.5 = 2

det ⁡ A B = det ⁡ A . d e t B = det ⁡ B A = 2

Resposta

det ⁡ A B = det ⁡ A . d e t B = d e t ⁡ ( B A )

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