Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 7.3 - Ex. 5
Seja uma matriz de ordem tal que . Provar que . Que acontece se é ímpar?
Passo 1
Provar que não é tão trabalhoso quanto parece. Só precisa que a gente tenha um pouco de habilidade com as propriedades de determinantes.
Agora, analisar o que vai acontecer quando for ímpar, aí sim pode ficar algo “estranho”
Mas vamos começar devagar. Vejam só a nossa relação: . Se a gente passa para o segundo membro, teremos:
A sacada da questão está em perceber que este menos um que multiplica está multiplicando todas as linhas da nossa matriz. Então, como a matriz tem ordem , o que implica em linhas, temos o número multiplicado vezes.
Passo 2
Agora que a gente entendeu como funciona nossa matriz e a igualdade , podemos aplicar o determinante. Desta forma, teremos:
Agora é o momento de demonstrarmos nossas habilidades. Lembram da propriedade ? Pois é, temos que aplicar esta propriedade agora.
Só que agora, neste caso, todas as nossas linhas estão multiplicadas por . Então, o “correto” seria escrever:
E se a gente começa a isolar o de uma linha por vez, teremos:
E como , podemos escrever então,
Opa! Estamos quase na nossa relação, pois até agora já obtemos:
Para finalizarmos, basta lembrar que o determinante da é exatamente igual ao da sua matriz transposta. Portanto
E assim provamos a relação pedida no enunciado da questão!
Passo 3
Para finalizarmos, temos que entender o que acontece com a expressão quando for ímpar.
Se for ímpar, teremos:
E a princípio, chegamos a algum absurdo. Como que o determinante é igual ao seu negativo? Será se a relação que obtivemos é uma relação falsa? Mas como foi que a gente provou que era algo?
Confuso, tudo muito confuso.
Será se existe alguma solução que satisfaça a relação acima? Que tal então fazermos ? Se fizermos isto,
O que é uma verdade, não é?
Assim, chegamos ao que acontece quando for ímpar. O determinante da matriz será obrigatoriamente 0.
OBS: sabem uma coisa que pode ajudar na hora de visualizar? Tenta fazer a relação com uma matriz 3x3 genérica. Faz a relação para descobrir os elementos (alguns genérico) e assim calculem o determinante. Vocês verão na prática que o valor é exatamente igual a 0.
Resposta
Quando for ímpar o determinante de será igual a 0.