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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 17

Dado o sistema:

x + y - w = 0 x - z + w = 2 y + z - w = - 3 x + y - 2 w = 1

  1. Calcule o posto da matriz dos coeficientes.
  2. Calcule o posto da matriz ampliada.
  3. Descreva a solução desse sistema.
  4. Considere um sistema homogêneo A X = 0 , onde A é uma matriz n × n . Que condição você deve impor sobre A , para que o sistema admita soluções diferentes da solução trivial ( X = 0 )? Compare com 3.6 e o Exercício 18 do Capítulo 2.

Passo 1

  1. Primeiramente, quem é a matriz dos coeficientes? Basta olhar para o sistema e ver que é:

    2. 1 1 0 - 1 1 0 - 1 1 0 1 1 - 1 1 1 0 - 2

    Para encontrar seu posto, devemos escaloná-la. Vamos fazer as seguintes operações elementares:

    l i n h a   2 - l i n h a   1 :

    1 1 0 - 1 0 - 1 - 1 2 0 1 1 - 1 1 1 0 - 2

    - 1   v e z e s   l i n h a   2 :

    1 1 0 - 1 0 1 1 - 2 0 1 1 - 1 1 1 0 - 2

    l i n h a   3 - l i n h a   2 :

    1 1 0 - 1 0 1 1 - 2 0 0 0 1 1 1 0 - 2

    l i n h a   4 - l i n h a   1 + l i n h a   3

    1 1 0 - 1 0 1 1 - 2 0 0 0 1 0 0 0 0

    Logo, vemos que o números de linhas não nulas de sua matriz escalonada é 3, do que segue que seu posto é 3.

  2. Observando o sistema é fácil ver que sua matriz ampliada é dada por:

    3. 1 1 0 - 1 0 1 0 - 1 1 2 0 1 1 - 1 - 3 1 1 0 - 2 1

    Efetuando as mesmas operações elementares que o item anterior, obtemos:

    l i n h a   2 - l i n h a   1 :

    1 1 0 - 1 0 0 - 1 - 1 2 2 0 1 1 - 1 - 3 1 1 0 - 2 1

    - 1   v e z e s   l i n h a   2 :

    1 1 0 - 1 0 0 1 1 - 2 - 2 0 1 1 - 1 - 3 1 1 0 - 2 1

    l i n h a   3 - l i n h a   2 :

    1 1 0 - 1 0 0 1 1 - 2 - 2 0 0 0 1 - 1 1 1 0 - 2 1

    l i n h a   4 - l i n h a   1 + l i n h a   3

    1 1 0 - 1 0 0 1 1 - 2 - 2 0 0 0 1 - 1 0 0 0 0 0

    Assim, temos que o posto da matriz aumentada também é 3.

    Passo 3

  3. O posto da matriz dos coeficientes é igual ao posto da matriz aumentada. Logo, o sistema é possível. Além disso, o número de incógnitas é 4, do que temos que o sistema é possível e indeterminado com 4 - 3 = 1 variável livre.

    4. Passo 4

  4. Observe que para que o sistema admita mais de uma solução a gente tem que conseguir zerar uma das linhas da matriz dos coeficientes executando apenas operações elementares nas outras linhas e somando a esta linha.

Se pensarmos as linhas da matriz A como vetores, em outras palavras estamos querendo expressar esse vetor como combinação linear dos outros vetores linhas de A .

Logo, devemos impor a condição de que os vetores linha da matriz A , isto é, suas linhas, devem ser LD.

Resposta

  1. 3;
  2. 3;
  3. Possível e indeterminado;
  4. Suas linhas devem ser LD.
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Se A e B são matrizes nxn tais que det ⁡ A =- 2 e d e t B = 3 , calcule det ⁡ A t B - 1 .
Seja A = a i j 3 × 3 tal que d e t ⁡ ( A ) = 3 . Calcule o determinante das matrizes a seguir:a) a 11 + a 1 2 a 11 - a 12 a 13 a 21 + a 22 a 2 1 - a 22 a 23 a 31 + a 32 a 3 1 - a 32 a 33
Calcule o determinante das matrizes a seguir:a) e r t t e r t r e r t ( 1 + r t ) e r t
Seja A = a i j 3 × 3 tal que d e t ⁡ ( A ) = 3 . Calcule o determinante das matrizes a seguir:a) a 11 a 12 a 13 + a 12 a 21 a 22 a 23 + a 22 a 31 a 32 a 33 + a 32
Se det ⁡ A =- 3 , encontre:a) det ⁡ A 2 b) det ⁡ A 3 c) det ⁡ A - 1 d) det ⁡ A t