Dado o sistema:
- Calcule o posto da matriz dos coeficientes.
- Calcule o posto da matriz ampliada.
- Descreva a solução desse sistema.
- Considere um sistema homogêneo , onde é uma matriz . Que condição você deve impor sobre , para que o sistema admita soluções diferentes da solução trivial ()? Compare com 3.6 e o Exercício 18 do Capítulo 2.
Passo 1
- Primeiramente, quem é a matriz dos coeficientes? Basta olhar para o sistema e ver que é:
- Observando o sistema é fácil ver que sua matriz ampliada é dada por:
- O posto da matriz dos coeficientes é igual ao posto da matriz aumentada. Logo, o sistema é possível. Além disso, o número de incógnitas é 4, do que temos que o sistema é possível e indeterminado com variável livre.
- Observe que para que o sistema admita mais de uma solução a gente tem que conseguir zerar uma das linhas da matriz dos coeficientes executando apenas operações elementares nas outras linhas e somando a esta linha.
Para encontrar seu posto, devemos escaloná-la. Vamos fazer as seguintes operações elementares:
Logo, vemos que o números de linhas não nulas de sua matriz escalonada é 3, do que segue que seu posto é 3.
Efetuando as mesmas operações elementares que o item anterior, obtemos:
Assim, temos que o posto da matriz aumentada também é 3.
Passo 3
Passo 4
Se pensarmos as linhas da matriz como vetores, em outras palavras estamos querendo expressar esse vetor como combinação linear dos outros vetores linhas de .
Logo, devemos impor a condição de que os vetores linha da matriz , isto é, suas linhas, devem ser LD.
Resposta
- 3;
- 3;
- Possível e indeterminado;
- Suas linhas devem ser LD.