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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 2.2 - Ex. 1

Se det (A) = - 3 , encontre:

a) det (A^2)

b) det (A^3)

c) det (A^(- 1))

d) det (A^t)

Passo 1

E aí galera, tudo blz?

Essa questão exige conhecimento sobre as propriedades do determinante. É uma questão boa para revisar o assunto.

a)Para resolver a letra a, precisamos saber que:

I . det (A B) = det (A) * det (B)

Além disso, uma matriz A elevada a um índice n , é o mesmo que multiplicar A por ela mesma n vezes, dessa forma: A^n = underset(n v e z e s)(ubrace A * A * ... * A)

Então, podemos desmembrar o A^2 e aplicar a propriedade acima.

det (A^2) = det (A * A) = d e t (A) * det (A) = (- 3) * (- 3) = 9

Passo 2

b)Na letra b vamos aplicar o mesmo raciocínio. No entanto, agora temos A^3 , então podemos desmembrar em A e A^2 .

Assim, pegamos o valor já calculado na alternativa anterior e prontinho!

det (A^3) = det (A * A^2) = d e t (A) * det (A^2) = (- 3) * 9 = - 27

Ta moleza né gente? Vamos para a próxima alternativa!

Passo 3

c)Para resolver a letra c, precisamos lembrar que considerando uma matriz B , o produto entre o seu determinante com o determinante de sua inversa é igual a 1. Portanto, podemos dizer que:

det (B^(- 1)) = (1)/(d e t ( B ))

Assim pessoal, aplicando isso na nossa alternativa, vamos ter:

det (A^(- 1)) = (1)/(d e t ( A )) = - (1)/(3)

Passo 4

c)Agora, para resolver a letra c, precisamos lembrar que:

det (B) = d e t ( B^(- 1) )

Portanto,

det (A^(- 1)) = det (A) = - 3

Pronto, questão finalizada!

Resposta

a) 9

b) - 27

c) - (1)/(3)

d) - 3

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Mostre que d e t [[[1,1,1],[a,b,c],[a^2,b^2,c^2]]] = ( a - b ) ( b - c ) ( c - a ) .
Dê o número de inversões das seguintes permutações de 1 ,2 ,3 ,4 ,5 : 35412 21435 54321 No determinante de uma matriz 5 × 5 , que sinal (negativo ou positivo) precederia os termos a 13 a 25 a 34 a 41
Sejam AeB matrizes do tipo n × n . Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas. det ⁡ A B = d e t ⁡ ( B A ) det ⁡ A ' = d e t ⁡ ( A ) det ⁡ 2 A = 2 d e t A det ⁡ A 2 = d e t A 2 det ⁡
Propriedade: O determinante de uma matriz triangular A n × n e igual ao produto de sua diagonal.Prove esta propriedade no caso em que A é uma matriz triangular superior (genérica) = 5 × 5 . (Sugestão: