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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 14

Dizemos que A e B são matrizes semelhantes se existe uma matriz P tal que B = P - 1 A P . Mostre que det ⁡ A = det ⁡ B se A e B são semelhantes.

Passo 1

Essa questão não tem muito mistério, a ideia é aplicar o determinante a ambos os lados da equação:

B = P - 1 A P

Do que obtemos:

det ⁡ B = det ⁡ ( P - 1 A P )

Passo 2

Do nosso estudo, sabemos que o determinate do produto é o produto dos determinantes:

det ⁡ A B = d e t A ∙ d e t B

Vamos usar essa propriedade na questão acima:

det ⁡ ( P - 1 A P ) = det ⁡ P - 1 det ⁡ A det ⁡ P = det ⁡ A det ⁡ P det ⁡ P - 1

Mas sabemos que:

det ⁡ P det ⁡ P - 1 = 1

Do que a gente tem que:

det ⁡ B = det ⁡ ( P - 1 A P ) = det ⁡ A

Resposta

Demonstração.

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Encontre os valores de k com os quais A é invertível. A = 1 2 0 k 1 k 0 2 1
Use determinantes para decidir se a matriz A = 2 - 3 5 0 1 - 3 0 0 2 é invertível