Sando a notação do Exercício 18, mostre que se os vetores v 1 → , … , v → r gerarem V , então os vetores de coordenadas v 1 → s , … , v → r s geram R n e reciprocamente.

Passo 1

Vamos assumir que

S → B a s e   d e   V

V → E s p a ç o   v e t o r i a l

E que:

s ' = { v 1 → , v 2 → , … , v r → }

É um subespaço linearmente independente.

Passo 2

Se o espaço gerado for igual ao espaço vetorial

s ' = V

Então s ' é uma base para V , o que implica dizer que as dimensões são iguais:

dim ⁡ s ' = dim ⁡ V

r = n

Então os vetores coordenadas são capazes de gerar o R n

v 1 → s , … , v → r s   ⇔ G E R A   R n

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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