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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 5.Exercício - Ex. 21c

Dado o triângulo ABC não retângulo, a = t g   Â , b = t g   B ^ e c = t g   C ^ .

  1. Mostre que as retas-suportes das três alturas do triângulo ABC têm um único ponto em comum (ortocentro). Sendo P este ponto, mostre que:

C P → = a + b a + b + c C X →                   A P → = b + c a + b + c A Y →                   B P → = a + c a + b + c B Z →

Passo 1

Nesta letra c nós vamos ter algo mais ou menos assim:

Do exercício 20 nós concluímos que basta provar que P pertence aos três vetores desenhados e provamos que ele é único!!

Então, de acordo com o que foi esboçado nós temos que:

A P → = x A Y →     →     P - A = x A Y → →     P = A + x A Y →

Z P → = y Z B →     →     P - Z = y Z B → →     P = Z + y Z B →

Ou melhor:

A + x A Y → = Z + y Z B →

Da alternativa b nós comprovamos que:

A Y → = - C A → + b b + c C B →

B Z → = - C B → + a a + c C A →

Substituindo:

A + x - C A → + b b + c C B → = Z + y Z B →

- x C A → + x b b + c C B → = A Z → + y Z B →

Podemos reescrever A Z → como A C → + C B → + B Z → :

- x C A → + x b b + c C B → = A C → + C B → + B Z → + y Z B →

Como Z B → = - B Z →

- x C A → + x b b + c C B → = A C → + C B → + ( 1 - y ) B Z →

Se A C → = - C A → :

- x C A → + x b b + c C B → = - C A → + C B → + ( 1 - y ) B Z →

( 1 - x ) C A → + x b b + c C B → = C B → + ( 1 - y ) B Z →

Substituindo B Z → :

( 1 - x ) C A → + x b b + c C B → = C B → + 1 - y - C B → + a a + c C A →

( 1 - x ) C A → + x b b + c C B → = y C B → + 1 - y a a + c C A →

1 - x C A → + x b b + c C B → = y C B → + a a + c C A → - y a a + c C A →

1 - x - a a + c + y a a + c C A → + x b b + c - y C B → = 0

Sendo assim:

1 - x - a a + c + y a a + c = 0 → a + c - x a + c - a + y a = 0 →     c - x a + c + y a = 0

x b b + c - y = 0 →     y = x b b + c

Substituindo a segunda na primeira:

c - x a + c + a x b b + c = 0

c - x a - x c + a x b b + c = 0

c b + c - x a b + c - x c b + c + a x b = 0

c b + c - a x b - a x c - x c b - x c 2 + a x b = 0

c b + c - a x c - x c b - x c 2 = 0

Reorganizando:

x = b + c a + b + c                   y = b a + b + c

Passo 2

Na análise vetorial nós temos que:

B P → = B Z → + Z P →

Da primeira equação do Passo 1:

Z P → = y Z B →

Então:

B P → = B Z → + y Z B → = B Z → - y B Z →

B P → = ( 1 - y ) B Z →

Substituindo y:

B P → = 1 - b a + b + c B Z →

B P → = a + c a + b + c B Z →

Sendo assim P pertence a ambos os vetores e é o ponto de intersecção entre A Y →   e   B Z →

Podemos obter os mesmo resultados quando fazemos este procedimento para as bissetrizes A Y → e C X → e B Z → e C X → .

Quando fazemos isso vamos comprovar que P pertence a todos os vetores e é ponto de intersecção único das três retas suportes das alturas do triângulo !!

E aí vamos concluir que:

C P → = a + b a + b + c C X →                   A P → = b + c a + b + c A Y →                   B P → = a + c a + b + c B Z →

Bem grandinha, não foi?

Resposta

C o m o   v i s t o   a c i m a   ‼

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