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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 9.Exercício - Ex. 57

Prove que, se lambda != 0 e vec u != vec 0 , então p r o j_vec u vec v = p r o j_lambda vec u vec v .

Passo 1

O exercício quer que provemos que

p r o j_vec u vec v = p r o j_lambda vec u vec v

Isso significa que quando tomamos a projeção com relação a um vetor, o que importa é apenas a direção dessa vetor.

Para isso, vamos usar a fórmula da projeção:

p r o j_vec u vec v = (vec v * vec u)/(‖vec u‖^2) vec u

Passo 2

Assim, temos que

p r o j_lambda vec u vec v = (vec v * ( lambda vec u ))/(‖lambda vec u‖^2) (lambda vec u) = lambda (vec v * ( lambda vec u ))/(‖lambda vec u‖^2) vec u

Usando as propriedades da norma e do produto escalar:

vec v * (lambda vec u) = lambda vec v * vec u

‖lambda vec u‖^2 = lambda^2 ‖vec u‖^2

Passo 3

Assim,

p r o j_lambda vec u vec v = lambda^2 (vec v * vec u)/(lambda^2 ‖vec u‖^2) vec u = (vec v * vec u)/(‖vec u‖^2) vec u

Desta forma, vemos que

p r o j_vec u vec v = p r o j_lambda vec u vec v

Resposta

Demonstração.

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