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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 6.Problemas propostos - Ex. 47

Determinar o ponto de interseção da reta r com o plano π .

  1. r : x = 4 + k y = 3 + 2 k z = - 2 - 3 k                     e                         π : x = 2 + h + 2 t y = - 3 - h - t z = 1 + 3 h - 3 t

Passo 1

Falaaa... belezinha??

Se liga só... A gente que achar o ponto de interseção da reta   r com o plano π . Isso significa que queremos achar um ponto que tenha o x da reta igual ao x do plano, o y da reta igual ao y do plano e o z da reta igual ao z do plano.

Repara que vamos ter, então, um sistema com três equações e três incógnitas. Ou seja, conseguimos resolver de boa.

Passo 2

Vamos igualar essas equações aí, já que está tudo na forma paramétrica bem bonitinho:

- para o x :

x r = x π

4 + k = 2 + h + 2 t

h + 2 t - k = 2

- para o y :

y r = y π

3 + 2 k = - 3 - h - t

h + t + 2 k = - 6

- para o z :

z r = z π

- 2 - 3 k = 1 + 3 h - 3 t

3 h - 3 t + 3 k = - 3

h - t + k = - 1

E chegamos no sistema:

h + 2 t - k = 2 h + t + 2 k = - 6 h - t + k = - 1

Passo 3

Resolvendo o sistema escalonando (mas pode ser da forma que preferir e achar melhor, ok?):

h + 2 t - k = 2 h + t + 2 k = - 6 h - t + k = - 1

Fazendo (Linha 2) = (Linha 2) – (Linha 1) e (Linha 3) = (Linha 3) – (Linha 1):

h + 2 t - k = 2 0 h - t + 3 k = - 8 0 h - 3 t + 2 k = - 3

Fazendo (Linha 3) = (Linha 3) – 3(Linha 2):

h + 2 t - k = 2 0 h - t + 3 k = - 8 0 h + 0 t - 7 k = 21

Então achamos:

- 7 k = 21

k = - 3

Nem precisa achar o h e o t porque a gente já tem a equação da reta só em função de k .

Passo 4

Substituindo, então:

x = 4 + k

x = 4 + - 3

x = 1

y = 3 + 2 k

y = 3 + 2 - 3

y = - 3

z = - 2 - 3 k

z = - 2 - 3 - 3

z = 7

Então chegamos, finalmente, no ponto:

1 , - 3,7

Shoooww de bolinhas. Essa aqui acabamos, mas vamos pra próxima questão??

Resposta

1 , - 3,7

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