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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 6.Problemas propostos - Ex. 20

Nos Problemas 19   a   22 , os pares de retas r 1 e r 2 são paralelas ou concorrentes. Encontrar uma equação geral do plano que as contém.

20)

r 1 :   x = 1 + 2 t y = - 2 + 3 t z = 3 - t

r 2 :   x = 1 - 2 t y = - 2 - t z = 3 + 2 t

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

Para equacionar um plano precisamos de duas coisas: um ponto ( x 0 , y 0 , z 0 ) e um vetor normal ( a , b , c ) , né? E daí a equação geral é:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Sendo assim a ideia pra resolver essa questão é a seguinte: com os vetores diretores das duas retas fazer o produto vetorial e determinar um vetor normal. Esse será nosso vetor normal ao plano.

Com o vetor normal na mão é só escrever um ponto que pertença a essas retas e equacionar o plano!

Tranquilo? Vamos começar?

Passo 2

Começando pelos pontos. Vou pegar o vetor diretor da reta r 1 . Resgatando a equação lá do enunciado temos:

r 1 :   x = 1 + 2 t y = - 2 + 3 t z = 3 - t

As coordenadas do vetor vão ser os números que multiplicam t , então o vetor é v → ( 2,3 , - 1 ) .

Agora vou pegar a reta r 2 . Do enunciado temos:

r 2 :   x = 1 - 2 t y = - 2 - t z = 3 + 2 t

Daí o vetor diretor dessa reta é   u → - 2 , - 1,2 .

Passo 3

Agora com os dois vetores o próximo passo é fazer o produto vetorial entre eles:

v → × u → = i ^ j ^ k ^ 2 3 - 1 - 2 - 1 2 = i ^ 6 - 1 + j ^ 2 - 4 + k ^ ( - 2 + 6 )

= ( 5 , - 2,4 )

Passo 4

Agora juntando o vetor normal 5 , - 2,4   com o ponto ( 1 , - 2,3 ) (aqui é fácil dever que o ponto que satisfaz as duas retas é com t = 0 ), podemos escrever uma equação geral pra esse plano:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

5 x - 1 - 2 y + 2 + 4 z - 3 = 0

5 x - 5 - 2 y - 4 + 4 z - 12 = 0

5 x - 2 y + 4 z - 21 = 0

Assim a equação do plano é 5 x - 2 y + 4 z - 21 = 0 .

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

5 x - 2 y + 4 z - 21 = 0

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