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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 7.Exercícios Propostos - Ex. 7

Determine uma equação cartesiana do plano que passa pela reta r   : x + 1 2 = y 3 = z - 1 e é perpendicular ao plano 3 x   - 4 y     - 2 z   - 1   = 0 .

Passo 1

Fala, pessoal! Vamos começar determinando a equação paramétrica da reta r :

r : x + 1 2 = y 3 = z - 1 = λ ⇒ x = 2 λ - 1 ,   y =   3   λ ,   z = - λ

e, com a equação escrita na forma paramétrica, podemos determinar o vetor diretor dessa reta. Assim, temos que v → r = ( 2,3 , - 1 ) .

O segundo passo é assumir que há um vetor n → perpendicular ao plano 3 x   - 4 y     - 2 z   - 1   = 0 que pertence ao plano a ser determinado. Temos que n →   =   ( 3 , - 4 , - 2 ) .

Por fim, antes de calcular o determinante, vamos tomar o valor de λ   =   0 , para acharmos um ponto P pertencente a esse plano. Daí,

( λ   =   0 )   :   ( 2 λ   - 1 ,   3 λ ,   - λ )   ⇒   P   =   ( - 1,0 , 0 ) .

Fazendo X = ( x , y , z ) que pertence ao plano e sabendo que P   = ( - 1,0 , 0 ) também pertence ao plano, temos o seguinte vetor

P X → = X - P = ( x , y , z ) - ( - 1,0 , 0 ) = ( x + 1 , y , z )

Passo 2

Os vetores P X → , v → r e n → devem ser l.d., de modo que o determinante da matriz contendo esses vetores é nulo. Então:

⇒ ( x + 1 ) ( - 6   - 4 )   - y   ( - 4   + 3 )   +   z ( - 8   -   9 )   =   0  

⇒ - 10 ⋅ ( x + 1 )   + y   - 17 z   =   0  

⇒ - 10 x   + y   - 17 z   - 10   =   0           × ( - 1 )  

⇒ 10 x   - y   + 17 z   + 10   =   0

Resposta

10 x   - y   + 17 z   + 10   =   0

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